Diga se é Verdadeiro ou Falso:
raiz32 in Q

Passo 1

O enunciado pergunta se raiz32 pertence ao conjunto dos números racionais Q. Vamos usar a definição de números racionais e irracionais e propriedades de raízes quadradas para chegar à conclusão.

Passo 2

Simplificamos a raiz:
raiz32 = raiz16 cdot 2 = raiz16,raiz2 = 4raiz2

Passo 3

Mostramos que raiz2 é um número irracional. Suponha, por contradição, que exista pqinQ (com p,qinZ, coprimos e qneq0) tal que
raiz2 = pq
Elevando ao quadrado:
2 = p^2q^2 Longrightarrow p^2 = 2q^2
Daí p^2 é par, logo p é par. Escreva p=2k. Substituindo:
(2k)^2 = 2q^2 Longrightarrow 4k^2 = 2q^2 Longrightarrow q^2 = 2k^2
Isso mostra que q também é par, o que contradiz a hipótese de que p e q eram primos entre si. Portanto raiz2 não pode ser racional.

Passo 4

Como raiz2 é irracional e 4 é um número racional não nulo, o produto
4raiz2
é irracional. Logo raiz32=4raiz2 não pertence a Q. A afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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