é igual a qual opção: (a) 3, (b) 0, (c) 1 ou (d) 2?"\n
Informações relevantes dadas:
A matriz é a dada acima, que tem 4 linhas e 5 colunas (logo atua de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{4}).
Queremos a dimensão de (\operatorname{Im}A)^{\perp}, o complemento ortogonal do espaço coluna (imagem) de A.
Passo 2
Conceito e fórmula útil — o que devemos usar na prova:
A imagem (espaço coluna) de uma matriz A com 4 linhas é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. O complemento ortogonal (\operatorname{Im}A)^{\perp} é o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} ortogonais a todas as colunas de A.
Teorema (fácil de lembrar na prova): \dim(\operatorname{Im}A)+\dim((\operatorname{Im}A)^{\perp})=4. Ou seja,
Explicação curta de porquê (didática): as colunas de A geram \operatorname{Im}A\subset\mathbb{R}^4; o espaço todo \mathbb{R}^4 se decompõe em uma soma direta de \operatorname{Im}A e seu ortogonal (isso vem da teoria de espaços euclidianos). Portanto basta achar \operatorname{rank}(A).
Passo 3
Vamos então calcular \operatorname{rank}(A) por eliminação de linhas (row reduction). Escrevo a matriz A novamente:
Portanto a linha 3 é múltiplo da linha 2, não acrescenta independência. Assim, dentre as linhas não nulas só temos duas independentes: a linha 1 e a linha 2.
Passo 6
Conclusão sobre o posto:
Há exatamente 2 linhas linearmente independentes após redução, logo
\operatorname{rank}(A)=2.
Comentário didático: equivalently, as colunas de A geram um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.
Motivação prática para a prova: sempre que pedirem dimensão do complementar ortogonal da imagem, calcule o posto e subtraia do número de linhas da matriz.