1. A dimensão do complemento ortogonal da imagem da matriz \left[\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1\end{array}\right] é:
    (a) 3 .
    (b) 0 .
    (c) 1 .
    (d) 2 .

Passo 1

O enunciado pede: "A dimensão do complemento ortogonal da imagem da matriz
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}
é igual a qual opção: (a) 3, (b) 0, (c) 1 ou (d) 2?"\n
Informações relevantes dadas:
  • A matriz é a dada acima, que tem 4 linhas e 5 colunas (logo atua de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{4}).
  • Queremos a dimensão de (\operatorname{Im}A)^{\perp}, o complemento ortogonal do espaço coluna (imagem) de A.

Passo 2

Conceito e fórmula útil — o que devemos usar na prova:
  • A imagem (espaço coluna) de uma matriz A com 4 linhas é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. O complemento ortogonal (\operatorname{Im}A)^{\perp} é o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} ortogonais a todas as colunas de A.
  • Teorema (fácil de lembrar na prova): \dim(\operatorname{Im}A)+\dim((\operatorname{Im}A)^{\perp})=4. Ou seja,
\dim((\operatorname{Im}A)^{\perp}) = 4 - \operatorname{rank}(A).
Explicação curta de porquê (didática): as colunas de A geram \operatorname{Im}A\subset\mathbb{R}^4; o espaço todo \mathbb{R}^4 se decompõe em uma soma direta de \operatorname{Im}A e seu ortogonal (isso vem da teoria de espaços euclidianos). Portanto basta achar \operatorname{rank}(A).

Passo 3

Vamos então calcular \operatorname{rank}(A) por eliminação de linhas (row reduction). Escrevo a matriz A novamente:
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}.
Observação óbvia: a primeira linha e a quarta linha são idênticas. De fato,
\text{linha}_4-\text{linha}_1 = \begin{bmatrix}0&0&0&0&0\end{bmatrix},
logo as linhas 1 e 4 não são independentes; isto já sugere que o posto não pode ser 4.

Passo 4

Faço operações para simplificar rapidamente. Subtraio a linha 1 da linha 3 e da linha 4:
  • Nova linha 3 \leftarrow linha 3 - linha 1.
  • Nova linha 4 \leftarrow linha 4 - linha 1.
    Aplicando isso obtemos a matriz
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Passo 5

Compare a nova linha 3 com a linha 2. Temos
\text{linha}_2=\begin{bmatrix}0&1&-1&1&-1\end{bmatrix}, \qquad \text{linha}_3=\begin{bmatrix}0&-1&1&-1&1\end{bmatrix} = -\,\text{linha}_2.
Portanto a linha 3 é múltiplo da linha 2, não acrescenta independência. Assim, dentre as linhas não nulas só temos duas independentes: a linha 1 e a linha 2.

Passo 6

Conclusão sobre o posto:
  • Há exatamente 2 linhas linearmente independentes após redução, logo
\operatorname{rank}(A)=2.
Comentário didático: equivalently, as colunas de A geram um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.

Passo 7

Agora uso a fórmula do Passo 2:
\dim((\operatorname{Im}A)^{\perp}) = 4 - \operatorname{rank}(A) = 4 - 2 = 2.
Motivação prática para a prova: sempre que pedirem dimensão do complementar ortogonal da imagem, calcule o posto e subtraia do número de linhas da matriz.

Resposta

(d) 2.

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