Considere o sistema S abaixo, onde todos os coeficientes, a, b, \ldots, l, são números não nulos:
\left\{\begin{array}{l} a x+e y+(a+e) z+i w=1 \\\ b x+f y+(b+f) z+j w=2 \\\ c x+g y+(c+g) z+k w=3 \\\ d x+h y+(d+h) z+l w=4 \end{array}\right.
I - S pode ter solução única
II - S sempre tem solução
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas, em que todos os coeficientes a,b,\dots,l são números não nulos:
\left\{\begin{array}{l} a x+e y+(a+e) z+i w=1 \\\ b x+f y+(b+f) z+j w=2 \\\ c x+g y+(c+g) z+k w=3 \\\ d x+h y+(d+h) z+l w=4 \end{array}\right.
As perguntas são:
I - O sistema S pode ter solução única?
II - O sistema S sempre tem solução?
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: todas as letras a,b,\dots,l são não nulas; os coeficientes da terceira coluna são a+e,\;b+f,\;c+g,\;d+h; o vetor do segundo membro é (1,2,3,4)^T.
Passo 2
Observação simples e crucial sobre a matriz dos coeficientes. Vou escrever as colunas da matriz A dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} a & e & a+e & i\\[4pt] b & f & b+f & j\\[4pt] c & g & c+g & k\\[4pt] d & h & d+h & l \end{pmatrix}
Note que a terceira coluna é a soma da primeira com a segunda. Em notação de colunas, se C_1,C_2,C_3,C_4 são as colunas de A, então
C_3 = C_1 + C_2.
Isto é uma relação de dependência linear entre as colunas.]
Passo 3
Consequência da dependência linear: a matriz A é singular. Explico devagar:
Uma matriz quadrada tem inversa (e, portanto, sistema Ax=b tem solução única para todo b) se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.
Aqui já encontrei uma combinação não trivial C_3 - C_1 - C_2 = 0, logo as colunas não são independentes.
Portanto \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)<4.
Concluo imediatamente que o sistema S nunca terá solução única (nunca é um caso com matriz invertível). Assim a afirmação I é impossível de ser verdadeira. Vou detalhar: I é falsa.
Passo 4
Agora senso sobre existência de solução (afirmação II). Para que Ax=b seja consistente (tenha pelo menos uma solução) é preciso que o vetor b=(1,2,3,4)^T pertença ao espaço coluna de A, isto é, que exista combinação linear
\alpha C_1+\beta C_2+\gamma C_3+\delta C_4 = b.
Mas como C_3=C_1+C_2, essa combinação fica redundante e o espaço coluna de A é o mesmo gerado por C_1,C_2,C_4. Em termos de posto (rank), o teorema de Rouché–Capelli (vou enunciar de forma leve) diz:
Ax=b é consistente iff \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]),
onde [A\mid b] é a matriz aumentada. Como \operatorname{rank}(A)\le 3 (por dependência), pode acontecer que \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A) (então existem soluções, e serão infinitas) ou que \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A) (então não existem soluções).
Logo não podemos afirmar sem mais hipóteses que S sempre tem solução: depende se b está ou não no espaço coluna de A. Vou mostrar exemplos concretos para provar que II também é falsa (ou seja, nem sempre tem solução).
Passo 5
Exemplo mostrando que o sistema pode ser inconsistente (sem solução). Escolho coeficientes todos não nulos e muito simples:
Então o espaço coluna de A é simplesmente o subespaço gerado por (1,1,1,1)^T (posto 1). O segundo membro é
b=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
que não é múltiplo de (1,1,1,1)^T (porque as entradas não têm a mesma razão), logo b\notin\operatorname{Col}(A). Portanto \operatorname{rank}([A\mid b])=2>\operatorname{rank}(A)=1 e o sistema é inconsistente: não tem solução.
Este exemplo usa apenas coeficientes não nulos, logo demonstra que não é verdade que S sempre tem solução. Assim II é falsa.
Passo 6
Exemplo mostrando que o sistema pode ter solução (mas nunca única). Escolho coeficientes todos não nulos que garantem que b está na coluna de A. Por exemplo:
Observe que b=C_4. Portanto existe solução: uma solução explícita é
x=0,\quad y=0,\quad z=0,\quad w=1,
pois 0\cdot C_1+0\cdot C_2+0\cdot C_3+1\cdot C_4 = b. Como já vimos que \operatorname{rank}(A)<4, essa solução não pode ser única: quando existe, o conjunto de soluções forma uma família infinita (parâmetros livres). Assim o sistema pode ter soluções, mas nunca exatamente uma.
Passo 7
Síntese e resposta às afirmações:
I (o sistema pode ter solução única) — impossível, porque C_3=C_1+C_2 torna \det(A)=0; portanto nunca há solução única. I é falsa.
II (o sistema sempre tem solução) — falso, porque podemos escolher coeficientes não nulos (ex.: todos iguais a 1 e i=j=k=l=1) que tornam b\notin\operatorname{Col}(A) e o sistema inconsistente. II é falsa.