1. Seja A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ -2 & -3 & -1\end{array}\right]. A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é:
    (a) 1 .
    (b) 0 .
    (c) 3 .
    (d) 2 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 3 & 1 \\[4pt] -2 & -3 & -1\end{pmatrix}
e pergunta qual é a dimensão do autoespaço (espaço próprio) associado ao autovalor 2. As alternativas são:
\text{(a) }1,\qquad \text{(b) }0,\qquad \text{\text{(c)} }3,\qquad \text{(d) }2.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa "autoespaço associado ao autovalor 2". Um vetor v é autovetor de A com autovalor \lambda se
Av=\lambda v.
Reescrevendo, isso vira
(A-\lambda I)v=0.
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda é exatamente o núcleo (nullspace) da matriz A-\lambda I: são todos os vetores v que satisfazem (A-\lambda I)v=0. A dimensão desse autoespaço é o número de vetores linearmente independentes que resolvem esse sistema homogêneo — em termos práticos, é a nulidade de A-\lambda I, isto é, o número de parâmetros livres na solução.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso com \lambda=2, calculamos A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}3-2 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 3-2 & 1 \\[4pt] -2 & -3 & -1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] -2 & -3 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Precisamos resolver (A-2I)x=0. Seja x=(x_1,x_2,x_3)^T. O sistema linear é
\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3=0,\\[4pt] x_1+x_2+x_3=0,\\[4pt] -2x_1-3x_2-3x_3=0. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver passo a passo (método direto por substituição / combinação de equações):
  • Subtraio a segunda equação da primeira: (x_1+2x_2+2x_3)-(x_1+x_2+x_3)=0-0, resulta
x_2+x_3=0.
Logo x_2=-x_3.
  • Usando a segunda equação x_1+x_2+x_3=0 e substituindo x_2=-x_3, obtemos
x_1+(-x_3)+x_3=0 \implies x_1=0.
  • Verifico a terceira equação para consistência: substituindo x_1=0 e x_2=-x_3 em -2x_1-3x_2-3x_3=0
0-3(-x_3)-3x_3=3x_3-3x_3=0,
ou seja, satisfeita identicamente. Então não há nova restrição.
Conclusão das soluções: x_1=0, x_2=-x_3, x_3 livre. Escrevendo com um parâmetro t para x_3:
x=t\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

O autoespaço associado a \lambda=2 é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}. Ou seja, é uma reta (subespaço unidimensional). Portanto a dimensão do autoespaço é 1.
Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, seguir o passo de formar A-\lambda I e resolver o sistema homogêneo sempre funciona para encontrar a dimensão do autoespaço.

Resposta

(a) 1

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