Qual é a dimensão do seguinte subespaço:
\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0\right\} ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = \bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0\bigr\}.
Queremos determinar \dim(V). O conteúdo aqui é subespaços definidos como núcleo de um funcional linear e o Teorema do Posto-Nulidade.

Passo 2

Observe que V=\ker(f), onde
f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R},\quad f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}.
Pelo Teorema do Posto-Nulidade temos
\dim(\ker(f))=\dim(\mathbb{R}^{4})-\mathrm{rank}(f).
Como f é não trivial, \mathrm{rank}(f)=1.

Passo 3

Substituindo no Teorema do Posto-Nulidade:
\dim(V)=4-1=3.
Alternativamente, resolvendo x_{1}=x_{2}-x_{3}+x_{4} e parametrizando por x_{2},x_{3},x_{4}, obtemos uma base com três vetores, confirmando que \dim(V)=3.

Resposta

\,3

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