Dado \{(1,1,1,0),(1,2,3,0),(0,1,2,0),(0,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} :
(a) Verifique se o conjunto é LI.
(b) Encontre, dentre esses vetores, uma base para o subespaço gerado pelos vetores do conjunto dado.
(c) Qual é a dimensão desse subespaço gerado?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
\;v_1=(1,1,1,0),\;v_2=(1,2,3,0),\;v_3=(0,1,2,0),\;v_4=(0,1,1,1).
Pede (a) verificar se são linearmente independentes, (b) extrair uma base do subespaço que eles geram e (c) a dimensão desse subespaço.
O conteúdo é dependência linear, solução de combinação linear nula, base e dimensão de subespaço.

Passo 2

Para testar independência, considere escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) tais que \[\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3+\alpha_4v_4=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2=0,\\\ \alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+3\alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_4=0. \end{cases}
Da última equação \alpha_4=0\]. Da primeira, \(\alpha_1=-\alpha_2. Substituindo nas demais dá \alpha_3=-\alpha_2, e a penúltima fica redundante. Logo existe solução não trivial (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(-t,t,-t,0) com t\neq0.

Passo 3

Como encontramos relação não trivial, o conjunto é linearmente dependente, respondendo (a). Para extrair uma base, basta eliminar um vetor redundante e verificar independência dos três restantes. Por exemplo, escolha
\mathcal{B}=\{\,v_1,\;v_3,\;v_4\}=\{(1,1,1,0),\;(0,1,2,0),\;(0,1,1,1)\}.
Para ver que são independentes considere
\beta_1v_1+\beta_2v_3+\beta_3v_4=(0,0,0,0).
Da primeira coordenada vem \beta_1=0, da quarta \beta_3=0, e então da segunda \beta_2=0. Só a solução trivial existe, logo \mathcal{B} é LI e gera o mesmo subespaço.

Passo 4

A dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores é o número de vetores em qualquer base, isto é,
\dim(\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})=3.

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente.
(b) Uma base é, por exemplo, \{(1,1,1,0),\,(0,1,2,0),\,(0,1,1,1)\}.
(c) A dimensão do subespaço gerado é 3.

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