Dado \{(1,1,1,0),(1,2,3,0),(0,1,2,0),(0,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} :
(a) Verifique se o conjunto é LI.
(b) Encontre, dentre esses vetores, uma base para o subespaço gerado pelos vetores do conjunto dado.
(c) Qual é a dimensão desse subespaço gerado?
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4: \;v_1=(1,1,1,0),\;v_2=(1,2,3,0),\;v_3=(0,1,2,0),\;v_4=(0,1,1,1).
Pede (a) verificar se são linearmente independentes, (b) extrair uma base do subespaço que eles geram e (c) a dimensão desse subespaço.
O conteúdo é dependência linear, solução de combinação linear nula, base e dimensão de subespaço.
Passo 2
Para testar independência, considere escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) tais que
\[\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3+\alpha_4v_4=(0,0,0,0).
Da última equação \alpha_4=0\]. Da primeira, \(\alpha_1=-\alpha_2. Substituindo nas demais dá \alpha_3=-\alpha_2, e a penúltima fica redundante. Logo existe solução não trivial (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(-t,t,-t,0) com t\neq0.
Passo 3
Como encontramos relação não trivial, o conjunto é linearmente dependente, respondendo (a). Para extrair uma base, basta eliminar um vetor redundante e verificar independência dos três restantes. Por exemplo, escolha
Para ver que são independentes considere \beta_1v_1+\beta_2v_3+\beta_3v_4=(0,0,0,0).
Da primeira coordenada vem \beta_1=0, da quarta \beta_3=0, e então da segunda \beta_2=0. Só a solução trivial existe, logo \mathcal{B} é LI e gera o mesmo subespaço.
Passo 4
A dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores é o número de vetores em qualquer base, isto é,
\dim(\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})=3.
Resposta
(a) O conjunto é linearmente dependente.
(b) Uma base é, por exemplo, \{(1,1,1,0),\,(0,1,2,0),\,(0,1,1,1)\}.
(c) A dimensão do subespaço gerado é 3.