Dê exemplo de uma base do \mathbb{R}^{3}, de modo que, seus vetores sejam dois a dois perpendiculares e que um desses vetores seja perpendicular ao plano de equação x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de \mathbb{R}^3, ou seja, três vetores não nulos dois a dois perpendiculares, e um deles deve ser perpendicular ao plano de equação x+y+z=0.
Para isso, precisamos:
a) achar um vetor normal ao plano;
b) encontrar dois vetores que morem no plano (portanto ortogonais ao normal) e que sejam ortogonais entre si.

Passo 2

Um vetor normal ao plano x+y+z=0 é dado pelo gradiente dos coeficientes, isto é,
v_1 = (1,1,1).

Passo 3

Os vetores que moram no plano satisfazem
x+y+z=0,
logo são ortogonais a v_1. Podemos escolher dois exemplos simples e garantir que sejam ortogonais entre si. Por exemplo,
v_2 = (1,-1,0), \quad v_3 = (1,1,-2).
Verificações:
\,v_2\cdot v_1 = 1-1+0 = 0,
\,v_3\cdot v_1 = 1+1-2 = 0,
\,v_2\cdot v_3 = 1 -1 +0 = 0.

Passo 4

Como v_1,v_2,v_3 são não nulos e mutuamente ortogonais, são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Uma possível base é \{(1,1,1),(1,-1,0),(1,1,-2)\}.

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