No dimensionamento de uma instalação de bombeamento que irá operar de forma contínua foram considerados:
i. \quad Q=20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h};
ii. \quad Tubos = PVC rígido BRASILIT ( C=150 );
iii. Altura geométrica de sucção (hgs) =2 \mathrm{~m} e comprimento da tubulação de sucção =10 \mathrm{~m}
iv. Altura geométrica de recalque (hgr) =20 \mathrm{~m} e comprimento da tubulação de recalque =400 \mathrm{~m};

Calcular:

a) diâmetro da tubulação de sucção e de recalque usando a fórmula de
Bresse em que: D=K \sqrt{Q} : Sendo D - diâmetro (m); K= função da velocidade (ver Tabela) e Q - vazão ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} );
b) perda de carga na tubulação de sucção (hfs) e de recalque (hfr) usando a equação de Hazen-Williams
c) selecionar a unidade de bombeamento em função ( H_{\text {man }} \times Q );
d) potência necessária no eixo ( \mathrm{P}_{\mathrm{b}} );
e) potência do motor ( P _{\text {m }} ) com bitola comercial;
\mathrm{V}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) K
2,26 0,75
1,99 0,80
1,76 0,85
1,57 0,90
1,27 1,00
1,05 1,10
0,88 1,20
0,75 1,30
0,65 1,40

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com calma para ficar claro o que temos e o que é pedido):
  • Vazão: Q=20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Tubos: PVC rígido BRASILIT com coeficiente de Hazen–Williams C=150.
  • Altura geométrica de sucção: h_{gs}=2\\ \mathrm{m} e comprimento da sucção: L_s=10\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica de recalque: h_{gr}=20\\ \mathrm{m} e comprimento do recalque: L_r=400\\ \mathrm{m}.
  • Tabela que relaciona velocidade V com o fator K para a fórmula de Bresse D = K\sqrt{Q} (usar Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
    O que se pede:
    a) calcular D da sucção e do recalque usando D = K\sqrt{Q};
    b) calcular as perdas de carga na sucção h_{fs} e no recalque h_{fr} pela fórmula de Hazen–Williams;
    c) selecionar a unidade de bombeamento em função de H_{\text{man}} \times Q (ou seja, determinar o ponto H_{\text{man}} e Q);
    d) calcular a potência necessária no eixo P_b;
    e) calcular a potência do motor P_m considerando bitola comercial (escolher bitola comercial e indicar potência comercial escolhida).
Observação: eu vou primeiro calcular os diâmetros com a fórmula de Bresse (item a), depois usar esses diâmetros para as perdas (item b) e para o cálculo do H_{\text{man}} e da potência (itens c e d). No final farei uma escolha de bitola comercial (item e), recalculo as perdas/ cabeça total e estimo a potência do motor comercial a ser adotado.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter Q para o sistema que as fórmulas usam.
  • Q=20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}. Converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
Q = \frac{20}{3600} = 0{,}0055555556\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Vou manter esse Q com boa precisão para os cálculos.

Passo 3

Explicando a fórmula de Bresse e a escolha de K.
  • Fórmula de Bresse: D = K\sqrt{Q},
onde D é o diâmetro interno em metros, Q é a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e K é um fator relacionado à velocidade de projeto (a tabela relaciona V e K). Observação útil: se usarmos D = K\sqrt{Q}, então a velocidade resultante no tubo vale
V = \frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{4}{\pi K^2},
ou seja, a velocidade fica ligada apenas a K e independe de Q — por isso escolhemos um K na tabela que corresponda a uma velocidade desejada.
  • Critério de escolha de K: na sucção é prudente ter velocidade moderada (para evitar cavitação e perdas localizadas); no recalque, uma velocidade moderada também é desejável, mas tubos longos favorecem velocidades um pouco maiores para não termos tubos muito grandes. Vou optar por valores conservadores e práticos:
    • Sucção: escolho K=1{,}10 (da tabela corresponde a V\approx1{,}05\\ \mathrm{m/s}), porque sucção pede velocidade não muito alta.
    • Recalque: escolho K=1{,}00 (corresponde a V\approx1{,}27\\ \mathrm{m/s}), uma velocidade prática para recalque.
      (Se você preferir outra escolha, poderíamos iterar, mas estas são escolhas típicas em projetos práticos.)
Agora calculo os diâmetros.
  • Calcular \sqrt{Q}:
\sqrt{Q} = \sqrt{0{,}0055555556} = 0{,}0745356\\ (\text{aprox.}).
  • Diâmetro de sucção:
D_s = K_s\sqrt{Q} = 1{,}10 \times 0{,}0745356 = 0{,}081989\\ \mathrm{m} \approx 0{,}0820\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro de recalque:
D_r = K_r\sqrt{Q} = 1{,}00 \times 0{,}0745356 = 0{,}0745356\\ \mathrm{m} \approx 0{,}07454\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: com esses K os V previstos pela relação V=4/(\pi K^2) ficam aproximadamente 1{,}05\\ \mathrm{m/s} (sucção) e 1{,}27\\ \mathrm{m/s} (recalque), compatíveis com a tabela.

Passo 4

Agora vou explicar e usar a equação de Hazen–Williams para calcular as perdas de carga por atrito nas tubulações.
  • Fórmula (forma prática em unidades SI): h_f = 10{,}67\\ \frac{L\\ Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\\ D^{4{,}87}},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m).
  • Essa é uma fórmula empírica muito usada em água potável; é boa para tubos lisos e escoamento pleno.
Vou calcular Q^{1{,}852} e C^{1{,}852} uma vez e reutilizar:
Q^{1{,}852} = (0{,}0055555556)^{1{,}852} \approx 6{,}62\times10^{-5}.
C^{1{,}852} = 150^{1{,}852} \approx 1{,}068\times10^{4}.
Cálculo para a sucção ( L_s=10\\ \mathrm{m} e D_s=0{,}081989\\ \mathrm{m}):
  • Calcular D_s^{4{,}87}:
D_s^{4{,}87} \approx (0{,}081989)^{4{,}87} \approx 5{,}07\times10^{-6}.
  • Aplicando Hazen–Williams:
h_{fs} = 10{,}67\\ \frac{10 \times 6{,}62\times10^{-5}}{(1{,}068\times10^{4})\times(5{,}07\times10^{-6})} \approx 0{,}1305\\ \mathrm{m}.
Arredondando: h_{fs}\approx0{,}131\\ \mathrm{m}.
Cálculo para o recalque ( L_r=400\\ \mathrm{m} e D_r=0{,}074536\\ \mathrm{m}):
  • Calcular D_r^{4{,}87}:
D_r^{4{,}87} \approx (0{,}074536)^{4{,}87} \approx 3{,}26\times10^{-6}.
  • Aplicando Hazen–Williams:
h_{fr} = 10{,}67\\ \frac{400 \times 6{,}62\times10^{-5}}{(1{,}068\times10^{4})\times(3{,}26\times10^{-6})} \approx 8{,}12\\ \mathrm{m}.
Portanto, usando os diâmetros obtidos pela fórmula de Bresse:
  • h_{fs}\approx0{,}131\\ \mathrm{m}.
  • h_{fr}\approx8{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da cabeça manométrica total H_{\text{man}} e seleção do ponto de operação (item c).
  • Explicação: em bombeamento entre superfícies livres sem diferença de pressão além da atmosférica, a cabeça manométrica é
H_{\text{man}} = (z_{\text{o}}-z_{\text{i}}) + h_{fs} + h_{fr},
onde z_o - z_i é a diferença de nível entre a superfície livre de recalque e a superfície livre de sucção. No nosso caso, a superfície de sucção está 2\\ \mathrm{m} abaixo do centro do sistema e a de recalque 20\\ \mathrm{m} acima, logo a diferença total de nível é
z_o - z_i = h_{gr} + h_{gs} = 20 + 2 = 22\\ \mathrm{m}.
  • Assim:
H_{\text{man}} = 22\\ \mathrm{m} + 0{,}131\\ \mathrm{m} + 8{,}12\\ \mathrm{m} \approx 30{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Ponto de operação para seleção da bomba: Q=20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e H_{\text{man}}\approx30{,}25\\ \mathrm{m}. Ao escolher a bomba, procure uma bomba cuja curva passe próxima deste ponto (ou que tenha rendimento ótimo aí). Em projetos práticos, costuma-se escolher uma bomba com boa eficiência para esse ponto.

Passo 6

Cálculo da potência necessária no eixo P_b (item d).
  • A potência hidráulica entregue pela bomba (potência no fluido) é:
P_{\text{hid}} = \rho g Q H_{\text{man}},
onde \rho é a densidade da água ( 1000\\ \mathrm{kg/m^3}) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Substituindo:
P_{\text{hid}} = 1000\times 9{,}81 \times 0{,}0055555556 \times 30{,}25 \approx 1648{,}6\\ \mathrm{W}.
  • A potência no eixo P_b depende da eficiência da bomba \eta_{\text{pump}}. Assumo uma eficiência típica \eta_{\text{pump}}=0{,}70 (70%), valor razoável para bombas centrífugas comerciais em ponto de projeto.
P_b = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta_{\text{pump}}} = \frac{1648{,}6}{0{,}70} \approx 2355{,}2\\ \mathrm{W}\approx 2{,}36\\ \mathrm{kW}.
(Esse P_b corresponde aos diâmetros calculados pela Bresse usados nas perdas do Passo 4.)

Passo 7

Item e — escolha de bitola comercial e cálculo da potência do motor considerando essa bitola.
  • Motivação: os diâmetros calculados pela fórmula de Bresse são valores teóricos; na prática escolhemos bitolas comerciais (normalmente arredondando para cima para reduzir perdas). Os diâmetros que obtivemos foram D_s\approx0{,}0820\\ \mathrm{m} e D_r\approx0{,}07454\\ \mathrm{m}. Vou adotar uma bitola comercial prática: D_{\text{com}}=0{,}100\\ \mathrm{m} (tubo de 100\\ \mathrm{mm} interno) para ambas sucção e recalque — opção conservadora e comum em projetos (facilita conexões e reduz perdas no longo recalque).
  • Recalculo das perdas com D=0{,}100\\ \mathrm{m}:
    • D^{4{,}87} = (0{,}100)^{4{,}87} \approx 1{,}349\times10^{-5}.
    • Para sucção ( L_s=10\\ \mathrm{m}):
h_{fs,\text{com}} = 10{,}67\\ \frac{10 \times 6{,}62\times10^{-5}}{(1{,}068\times10^{4})\times(1{,}349\times10^{-5})} \approx 0{,}0491\\ \mathrm{m}.
  • Para recalque ( L_r=400\\ \mathrm{m}):
h_{fr,\text{com}} = 10{,}67\\ \frac{400 \times 6{,}62\times10^{-5}}{(1{,}068\times10^{4})\times(1{,}349\times10^{-5})} \approx 1{,}962\\ \mathrm{m}.
  • Perdas totais com bitola comercial: h_{fs,\text{com}}+h_{fr,\text{com}}\approx 2{,}011\\ \mathrm{m}.
  • Cabeça manométrica total com bitola comercial:
H_{\text{man,com}} = 22 + 2{,}011 \approx 24{,}011\\ \mathrm{m}.
  • Potência hidráulica com bitola comercial:
P_{\text{hid,com}} = 1000\times 9{,}81 \times 0{,}0055555556 \times 24{,}011 \approx 1308{,}6\\ \mathrm{W}.
  • Potência no eixo necessária (assumindo a mesma \eta_{\text{pump}}=0{,}70):
P_{b,\text{com}} = \frac{1308{,}6}{0{,}70} \approx 1{,}869{,}4\\ \mathrm{kW}.
  • Agora a potência do motor elétrico P_m: devo considerar a eficiência do motor \eta_{\text{motor}}. Assumo \eta_{\text{motor}}=0{,}92 (valor típico para motores elétricos industriais). Então a potência elétrica demandada será:
P_m = \frac{P_{b,\text{com}}}{\eta_{\text{motor}}} = \frac{1{,}869{,}4}{0{,}92} \approx 2{,}031\\ \mathrm{kW}.
  • Escolha comercial: motores comerciais têm potências padronizadas; o próximo valor comercial acima de 2{,}03\\ \mathrm{kW} é tipicamente 2{,}2\\ \mathrm{kW}. Recomendo adotar um motor de 2{,}2\\ \mathrm{kW} (corrigido conforme cultura local de bitolas/padrões, podendo aplicar fator de serviço se solicitado).

Passo 8

Resumo final dos resultados numéricos (vou deixar os valores finais que você provavelmente quer conferir rapidamente):

Resposta

(a) D_s = 0{,}0820\\ \mathrm{m},\; D_r = 0{,}07454\\ \mathrm{m}.
(b) h_{fs} \approx 0{,}131\\ \mathrm{m},\; h_{fr} \approx 8{,}12\\ \mathrm{m}.
(c) Ponto de seleção da bomba: Q=20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e H_{\text{man}} \approx 30{,}25\\ \mathrm{m}.
(d) Potência no eixo (com \eta_{\text{pump}}=70\%): P_b \approx 2{,}36\\ \mathrm{kW}.
(e) Com bitola comercial adotada D_{\text{com}}=0{,}100\\ \mathrm{m}: H_{\text{man,com}} \approx 24{,}01\\ \mathrm{m}, P_{b,\text{com}}\approx1{,}87\\ \mathrm{kW}; potência elétrica calculada P_m\approx2{,}03\\ \mathrm{kW} — recomenda-se motor comercial de 2{,}2\\ \mathrm{kW}.

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