Um bocal está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio com diâmetro interno \mathrm{D}=100 \mathrm{~mm}. O bocal é de perfil liso e tem diâmetro de saída de 25 mm . Este escoamento pode ser tratado como incompressível, permanente, sem perdas e ao longo de uma linha de corrente. A pressão de projeto na entrada do bocal é p1 =810 \mathrm{kPa} (manométrica). Determine a vazão volumétrica máxima que este bocal pode fornecer.
\square 17,8 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
\square 21,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
\square 19,8 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
\square 13,6 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
\square 15,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a vazão volumétrica máxima fornecida por um bocal acoplado a uma mangueira, dadas as seguintes informações:
\text{diâmetro interno da mangueira: }D_1=0{,}100\\ \mathrm{m}â
\text{diâmetro de saída do bocal: }D_2=0{,}025\\ \mathrm{m}âí
\text{pressão de projeto na entrada (manométrica): }p_1=810\\ \mathrm{kPa}=810000\\ \mathrm{Pa}ãé
Condições do escoamento: incompressível, permanente, sem perdas e ao longo de uma linha de corrente.
O que se quer: a vazão volumétrica máxima Q (em \mathrm{m^3/s} ou \mathrm{L/s}).

Passo 2

Vamos usar duas relações físicas básicas (vou explicar cada uma devagar):
  1. conservação de massa (continuidade) — relaciona velocidades e áreas;
  2. conservação de energia ao longo de uma linha de corrente (forma simplificada da equação de energia sem perdas) — relaciona pressões e velocidades.
    A hipótese de vazão máxima significa que na saída não há pressão manométrica positiva impedindo o escoamento; tomando a pressão externa como referência manométrica nula, podemos tomar p_2=0 (saída à pressão ambiente em termos manométricos).

Passo 3

Escrevendo a continuidade: a vazão volumétrica Q é a mesma em toda a seção:
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_i é a área da seção e v_i a velocidade média nessa seção. As áreas valem
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}.
Definindo a razão de áreas (ou razão de diâmetros ao quadrado)
\beta=\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2.
Substituindo D_1=0{,}100\\ \mathrm{m} e D_2=0{,}025\\ \mathrm{m},
\beta=\left(\frac{0{,}025}{0{,}100}\right)^2=(0{,}25)^2=0{,}0625.
Da continuidade temos
v_1=\beta\,v_2.

Passo 4

Agora a equação de energia (forma de Bernoulli para escoamento sem perdas, escrita em termos de pressão manométrica):
\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}=\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2},
onde \rho é a massa específica do fluido ( \rho da água, que usaremos abaixo). Tomando p_2=0 (saída à pressão manométrica nula) e substituindo v_1=\beta v_2, obtemos
\frac{p_1}{\rho}+\frac{(\beta v_2)^2}{2}=\frac{v_2^2}{2}.
Rearranjando para v_2:
\frac{p_1}{\rho}=\frac{v_2^2}{2}\bigl(1-\beta^2\bigr)
\Rightarrow v_2=\sqrt{\frac{2\,p_1/\rho}{1-\beta^2}}.
Explico: aqui \frac{p_1}{\rho} tem dimensões de velocidade ao quadrado; o termo (1-\beta^2) aparece porque parte da energia fica associada à pequena velocidade na seção maior.

Passo 5

Adotamos a massa específica da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Vamos calcular passo a passo:
\beta=0{,}0625,\qquad \beta^2=0{,}00390625,\qquad 1-\beta^2=0{,}99609375.
\frac{2p_1}{\rho}=\frac{2\cdot 810000}{1000}=1620\\ \mathrm{m^2/s^2}.
\frac{2p_1/\rho}{1-\beta^2}=\frac{1620}{0{,}99609375}\approx1626{,}427\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Portanto
v_2=\sqrt{1626{,}427}\approx 40{,}339\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora calculamos a vazão Q usando Q=A_2 v_2. Primeiro A_2:
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}025)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}00015625\approx 0{,}000490874\\ \mathrm{m^2}.
Q=A_2 v_2\approx 0{,}000490874\cdot 40{,}339\approx 0{,}019800\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q\approx 19{,}8\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: o valor numérico coincide com a alternativa 19{,}8\\ \mathrm{L/s}. Lembre que esse resultado usa as hipóteses do enunciado (incompressível, permanente, sem perdas e saída à pressão ambiente em termos manométricos); perdas ou restrições externas reduziríam a vazão real. Força aí — esse é o tipo de conta que cai na prova e que dá certo fazendo as substituições com calma!

Resposta

19{,}8\\ \mathrm{L/s}

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