Calcule a velocidade de dreno de um tanque com carga constante através de um pequeno orifício na parte inferior do tanque, supondo fluido incompressível. Considerando um tanque com uma coluna de fluido de 20 metros em um local com aceleração da gravidade similar à da lua (
), determine a velocidade de saída do fluido num orifício na base deste tanque.
Passo 1
O problema pede a velocidade de saída do fluido por um orifício na base de um tanque quando a coluna de fluido tem altura
e a aceleração da gravidade é
. Informações importantes fornecidas:
(altura da coluna de fluido),
,
fluido incompressível,
orifício pequeno (situação típica de saída para o ar ambiente).
A pergunta é: qual é a velocidade de saída do fluido no orifício da base do tanque?
fluido incompressível,
orifício pequeno (situação típica de saída para o ar ambiente).
A pergunta é: qual é a velocidade de saída do fluido no orifício da base do tanque?
Passo 2
Conceito físico que usamos (explicação didática): vamos usar a ideia de conservação de energia por unidade de massa para o fluido entre a superfície livre e a saída. Essa ideia diz que, para um escoamento estacionário e sem perdas por atrito, a soma da energia de pressão, energia potencial gravitacional e energia cinética por unidade de massa é constante ao longo de uma linha de corrente. Em fórmula:
onde
é a pressão,
a densidade do fluido,
a aceleração da gravidade,
a cota vertical (altura), e
a velocidade do ponto considerado. Vou explicar cada termo:
-
: energia de pressão por unidade de massa (tem unidades de ); -
: energia potencial por unidade de massa associada à altura ; -
: energia cinética por unidade de massa.
Assumimos também: - a pressão na superfície livre e na saída é a pressão atmosférica (ambos abertos ao ar), então esses termos de pressão se cancelam;
- a superfície livre se movimenta muito lentamente (tanque grande), então sua velocidade é aproximadamente
, enquanto a velocidade no orifício é a incógnita .
Passo 3
Aplicando a equação anterior entre dois pontos: ponto 1 na superfície livre (altura
) e ponto 2 na saída do orifício (tomada como
):
Aqui usei que a velocidade na superfície é (aproximadamente)
e as pressões em ambos os pontos são iguais a
. Agora simplifico: os termos
aparecem dos dois lados e cancelam, sobrando apenas os termos com
e
.
Passo 4
Depois do cancelamento, a equação fica:
Isolando
, obtemos a relação clássica (fórmula de Torricelli):
Explicação rápida da fórmula: a energia potencial
por unidade de massa é convertida em energia cinética
; portanto a velocidade depende apenas de
e
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos. Usando
e
:
Calcule passo a passo:
logo
Unidades: a raiz de
dá
, então
.
Passo 6
Comentário prático e incentivo: o resultado
vem da conversão pura de energia potencial em cinética; em situações reais a velocidade efetiva pode ser um pouco menor por causas práticas (viscosidade, contração do jato, perdas), mas para a prova e para este modelo ideal a resposta correta é
. Muito bem — você chegou lá!