Dimensionar uma adutora de 40 \mathrm{l} / \mathrm{s} para levar água dos pontos A ( \mathrm{NA}=120,00 \mathrm{~m} ) a B ( \mathrm{NA}=75,00 \mathrm{~m} ), que distam 7500 m , nas seguintes condições:
adutora, solução econômica, empregando tubos de PVC.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede o que segue.
  • Vazão solicitada: \,Q=40\\ \mathrm{L/s}=0{,}040\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Nível altimétrico do ponto A: \mathrm{NA}_A=120{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Nível altimétrico do ponto B: \mathrm{NA}_B=75{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da adutora: \,L=7500\\ \mathrm{m}.
  • Pedido do problema: dimensionar uma adutora (escolher diâmetro) em solução econômica empregando tubos de PVC.
Do enunciado faltam informações sobre pressão mínima exigida em B, existência de reservatórios, preços ou energia. Vou assumir que A é uma caixa/ reservatório cujo nível é constante em \mathrm{NA}_A e que B é um reservatório ou ponto atendido à cota \mathrm{NA}_B; portanto a energia disponível para vencer perdas por atrito é a diferença de cota \Delta H=\mathrm{NA}_A-\mathrm{NA}_B. Não foi pedido projeto de tubulação de rua (ramais) nem verificação de pressões internas, apenas dimensionamento da adutora principal.

Passo 2

Decisão do método (explicação didática e justificativa, sem pular etapas).
  • Para tubos de água em PVC é muito comum usar a fórmula de Hazen–Williams para estimar perda de carga por atrito em tubulações pressurizadas de água potável, porque ela é prática, simples e foi calibrada para tubulações lisas como PVC. Vamos usá-la.
  • Critério de “solução econômica” aqui adotado (procedimento simples e muito usado em provas): determinar o diâmetro mínimo que permita que a perda de carga total ao longo da adutora seja menor ou igual à energia disponível \Delta H (queda geométrica entre A e B). Em termos práticos isso evita sobredimensionamento (tubo muito grande e caro) e subdimensionamento (tubo muito pequeno e com perda de carga maior que a disponível).
  • Também vou verificar a velocidade resultante para que fique em faixa econômica e adequada para água potável (regra prática: velocidade entre aproximadamente 0{,}6 e 1{,}5\\ \mathrm{m/s}; valores próximos de 1\\ \mathrm{m/s} costumam ser boa escolha econômica).

Passo 3

Formulário e explicação das fórmulas que serão usadas.
  1. Equação de continuidade (relação entre vazão, área e velocidade):
Q = A \, v = \frac{\pi D^2}{4}\, v,
onde
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • A é a área da secção ( \mathrm{m^2});
  • v é a velocidade média ( \mathrm{m/s});
  • D é o diâmetro interno da tubulação ( \mathrm{m}).
  1. Fórmula de Hazen–Williams (forma prática usada para água em tubulações):
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}},
onde
  • h_f é a perda de carga total ao longo do comprimento L (em \mathrm{m});
  • L é o comprimento da tubulação (em \mathrm{m});
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • D é o diâmetro interno (em \mathrm{m});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional). Para tubos de PVC novo é comum usar C\approx150; se o tubo estiver usado ou houver sujidade, C pode ser menor (por ex. 140). Vou usar C=150 como valor típico para PVC novo.
Observação: a constante 10{,}67 é a forma compatível com unidades SI quando h_f e L estão em metros, Q em \mathrm{m^3/s} e D em metros.

Passo 4

Calcular a energia disponível (diferença de cota).
\Delta H = \mathrm{NA}_A - \mathrm{NA}_B = 120{,}00 - 75{,}00 = 45{,}00\\ \mathrm{m}.
Essa é a perda de carga máxima admissível para que o sistema funcione por gravidade (se h_f>\Delta H não haveria suficiente queda para vencer atrito).

Passo 5

Determinar o diâmetro mínimo \,D_{\min} tal que h_f \le \Delta H. Igualamos h_f=\Delta H e isolamos D.
A partir de
\Delta H = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}},
temos
D^{4{,}8704} = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,\Delta H},
logo
D = \left(10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,\Delta H}\right)^{\!1/4{,}8704}.
Agora substituímos os números (usando C=150, L=7500\\ \mathrm{m}, Q=0{,}040\\ \mathrm{m^3/s}, \Delta H=45{,}00\\ \mathrm{m}) e calculamos passo a passo.
Calcular Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = (0{,}040)^{1{,}852} \approx 0{,}002576.
Calcular C^{1{,}852} com C=150:
C^{1{,}852} \approx 150^{1{,}852} \approx 10663{,}9.
Numerador da fração dentro do parêntese:
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot 7500\cdot 0{,}002576 \approx 206{,}99.
Denominador:
C^{1{,}852}\cdot \Delta H \approx 10663{,}9 \cdot 45{,}00 \approx 479875{,}5.
Razão:
\frac{206{,}99}{479875{,}5} \approx 0{,}0004314.
Agora a potência:
D = (0{,}0004314)^{1/4{,}8704} \approx 0{,}2036\\ \mathrm{m}.
Portanto o diâmetro mínimo teórico para que a perda de carga total não exceda a energia disponível é
D_{\min}\approx 0{,}204\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }203{,}6\\ \mathrm{mm}).

Passo 6

Verificação com diâmetros comerciais e checagens práticas (velocidade e perda de carga para diâmetros comerciais).
  • Diâmetro comercial comum imediatamente abaixo: \,D=0{,}200\\ \mathrm{m} (DN200). Já que D_{\min}\approx0{,}2036\\ \mathrm{m}, o DN200 fica ligeiramente abaixo do mínimo e pode causar h_f>\Delta H. Vamos calcular h_f para D=0{,}200\\ \mathrm{m} e verificar.
  • Diâmetro comercial acima: \,D=0{,}250\\ \mathrm{m} (DN250), muito comum para adutoras; também há DN225 em alguns catálogos, mas o DN250 é amplamente disponível. Vou avaliar DN200, DN225 (se disponível) e DN250 e recomendar um.
Cálculo da velocidade para um dado D:
v=\frac{4Q}{\pi D^2}.
Cálculo da perda de carga com Hazen–Williams (mesma fórmula do passo 3).
a) Para D=0{,}200\\ \mathrm{m} (DN200):
  • Velocidade:
v=\frac{4\cdot 0{,}040}{\pi\cdot (0{,}200)^2}=\frac{0{,}160}{\pi\cdot 0{,}0400}\approx 1{,}274\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de carga total:
    calcula-se (substituindo em Hazen–Williams) e obtém-se
h_f \approx 49{,}7\\ \mathrm{m}.
Como h_f\approx49{,}7\\ \mathrm{m}>\Delta H=45{,}0\\ \mathrm{m}, o DN200 não é suficiente para conduzir Q por gravidade entre A e B sem auxílio de bomba.
b) Para D=0{,}225\\ \mathrm{m} (possível diâmetro comercial em alguns fornecedores):
  • Velocidade:
v=\frac{4\cdot0{,}040}{\pi\cdot(0{,}225)^2}\approx 0{,}985\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de carga total (H–W):
h_f \approx 27{,}7\\ \mathrm{m}.
Aqui h_f<\Delta H, bom desempenho; velocidade também dentro da faixa econômica ( \sim1\\ \mathrm{m/s}).
c) Para D=0{,}250\\ \mathrm{m} (DN250):
  • Velocidade:
v=\frac{4\cdot0{,}040}{\pi\cdot(0{,}250)^2}\approx 0{,}816\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de carga total:
h_f \approx 16{,}7\\ \mathrm{m}.
Observações práticas:
  • O diâmetro mínimo calculado foi \approx0{,}204\\ \mathrm{m}. O DN200 ( 0{,}200\\ \mathrm{m}) fica ligeiramente abaixo e produz perda de carga excessiva. Portanto não é aceitável sem bomba.
  • O DN225 (se disponível) é próximo do diâmetro mínimo e produz h_f bem abaixo de \Delta H com velocidade próxima de 1\\ \mathrm{m/s} — boa solução econômica.
  • O DN250 é um passo comercial acima; tem velocidade mais baixa ( \approx0{,}82\\ \mathrm{m/s}) e perda de carga tranquila ( \approx16{,}7\\ \mathrm{m}), dando maior margem hidráulica e menor velocidade (menos ruído e menor suscetibilidade à erosão). Em termos de custo, DN250 será mais caro que DN225, mas também reduz perdas e possivelmente custo operacional (se houvesse bombeamento). Sem valores de custo fica razoável escolher entre DN225 (se disponível e econômico) e DN250. Para robustez e disponibilidade típica, DN250 é escolha prática muito comum.

Passo 7

Conclusão prática e recomendações de projeto (como aplicar na prova):
  • Para dimensionamento rápido em prova: calcular D_{\min} através da fórmula de Hazen–Williams igualando h_f à diferença de cota \Delta H. Se D_{\min} cair entre dois diâmetros comerciais, escolha o próximo diâmetro comercial maior (para garantir h_f\le\Delta H).
  • Sempre verificar a velocidade resultante para que esteja em faixa econômica ( \sim0{,}6 a 1{,}5\\ \mathrm{m/s}). Valores muito baixos aumentam custo de tubulação; valores muito altos podem causar turbulência intensa, ruído e perda de carga muito elevada.
  • No problema dado e com C=150, o diâmetro mínimo calculado é \approx0{,}204\\ \mathrm{m}. Portanto rejeita-se DN200 e adota-se o próximo diâmetro disponível (DN225 ou DN250). Recomendo adotar DN250 por disponibilidade e margem hidráulica.

Resposta

Diâmetro mínimo calculado: D_{\min}=0{,}204\\ \mathrm{m} (aprox. 204\\ \mathrm{mm}).
Adoção recomendada (comercial e robusta): tubo PVC DN250, D=0{,}250\\ \mathrm{m}.
Para D=0{,}250\\ \mathrm{m}: velocidade v\approx0{,}816\\ \mathrm{m/s}.
Perda de carga total h_f\approx16{,}7\\ \mathrm{m} (slope médio \approx0{,}00223\\ \mathrm{m/m}, i.e. \approx2{,}23\\ \mathrm{m/km}).

Exercícios relacionados