Uma torça F=(15 \vec{i}+8 \vec{j}) \mathrm{N} é aplicada no ponto A=(2,-4) \mathrm{m}. Calcule o momento dessa força em relação ao ponto B=(1,-1) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá uma força aplicada e dois pontos no plano e pede o momento da força em relação ao ponto B.
Dados fornecidos:
F = 15\vec{i} + 8\vec{j}\\ \mathrm{N}
A=(2,-4)\\ \mathrm{m}\quad\text{(ponto de aplicação da força)}çãç
B=(1,-1)\\ \mathrm{m}\quad\text{(ponto em relação ao qual queremos o momento)}çã
O que se pede: calcular o momento da força F em relação ao ponto B.

Passo 2

O que é momento (torque) de uma força em 2D e como calculamos:
  • Intuitivamente, o momento mede a tendência da força de girar o corpo em torno de um ponto. No plano, só precisamos da componente perpendicular ao plano (eixo z).
  • Matematicamente usamos o produto vetorial entre o vetor posição \vec{r} (do ponto de referência até o ponto de aplicação) e a força \vec{F}:
\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}.
  • Como estamos em 2D, a única componente não-nula é a componente z do produto vetorial; ela pode ser calculada pela fórmula escalar
M_z = r_x F_y - r_y F_x.
Explicando cada símbolo:
  • r_x,\;r_y são as componentes do vetor posição \vec{r} (em metros).
  • F_x,\;F_y são as componentes da força \vec{F} (em newtons).
  • M_z é o momento escalar (em \mathrm{N\cdot m}); se for positivo, o giro tende a ser anti-horário (sentido positivo z); se negativo, horário.

Passo 3

Construir o vetor posição \vec{r} que vai de B até A:
\vec{r} = \overrightarrow{BA} = A - B.
Calculando componente a componente:
r_x = 2 - 1 = 1\\ \mathrm{m},
r_y = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3\\ \mathrm{m}.
Logo
\vec{r} = 1\vec{i} - 3\vec{j}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escrever a fórmula do momento em forma de determinante (uma forma comum e fácil de memorizar):
M_z = \det\begin{pmatrix} r_x & r_y \\[4pt] F_x & F_y \end{pmatrix} = r_x F_y - r_y F_x.
Agora identifique as componentes da força:
F_x = 15\\ \mathrm{N},\qquad F_y = 8\\ \mathrm{N}.]

Passo 5

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
M_z = r_x F_y - r_y F_x.
Primeiro calcule cada produto:
r_x F_y = 1 \cdot 8 = 8\\ \mathrm{N\cdot m},
r_y F_x = (-3) \cdot 15 = -45\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora:
M_z = 8 - (-45) = 8 + 45 = 53\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • M_z = 53\\ \mathrm{N\cdot m} é positivo, portanto a força produz um momento no sentido anti-horário em torno do ponto B.
  • Em forma vetorial (com a direção do eixo z):
\vec{M}_B = 53\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

\vec{M}_B = 53\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados