Uma galeria de águas pluviais de 2 m de diâmetro,
e declividade de
, transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de
. Determine:
a) A altura da lâmina d’água (y)
b) A máxima vazăo transportada. Considere que a vazăo ocorre em
a) A altura da lâmina d’água (y)
b) A máxima vazăo transportada. Considere que a vazăo ocorre em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros.
-
Perguntas:
- Determinar a altura da lâmina d’água
quando a vazão é . - Determinar a máxima vazão transportada, considerando que isso ocorre em
.
- Determinar a altura da lâmina d’água
-
Dados fornecidos:Observação: o raio é
.
Passo 2
Apresentação da fórmula que vamos usar (fórmula de Manning para escoamento livre, regime uniforme):
onde
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning; -
é a área molhada do escoamento ( ); -
é o raio hidráulico, definido por ( ), com perímetro molhado ( ); -
é a declividade (adimensional) e é sua raiz quadrada.
Explicação didática: a fórmula diz que a vazão cresce com a área e com o raio hidráulico (que mede quão “grosso” é o escoamento), e decresce com a rugosidade
. Para conduto circular parcialmente cheio,
e
dependem da profundidade relativa, que chamamos por
(ângulo central que corresponde ao trecho molhado do círculo). Vamos expressar tudo em função de
e, depois, relacionar
com
.
Passo 3
Geometria do círculo parcialmente cheio (raio
).
Definimos
= ângulo central (em radianos) correspondente ao setor molhado. As fórmulas padrão para o segmento circular são:
- Área molhada:
- Perímetro molhado (comprimento do arco):
- Raio hidráulico:
- Relação entre profundidade
(do fundo ao nível da água) e :
Comentário rápido: essa expressão vem de ver a posição do cordão horizontal (nível da água) em relação ao centro do círculo.
Como no nosso caso
, as fórmulas simplificam:
Passo 4
Escrever
em função de
. Substituindo
e
na fórmula de Manning:
Com
e
e
, temos
Reorganizando (útil para cálculo):
Agora calculamos o factor constante com os dados:
Calculemos numericamente:
Assim, para facilitar os testes numéricos usamos
Passo 5
Resolver para
tal que
. Vou usar tentativas (método de aproximação incremental / interpolação), explicando os cálculos intermediários.
- Teste
:
Conclusão: muito menor que
.
- Teste
:
Conclusão: um pouco menor que
.
- Teste
:
Conclusão: agora ficou um pouco maior que
.
Entre
e
a função
cruza
. Fazendo interpolação linear aproximada (suficiente aqui para boa precisão):
Verificação rápida em
dá
. Portanto
.
Passo 6
Calcular a profundidade
a partir de
.
Usamos a relação
Com
:
logo
Arredondando de forma prática para prova:
(aprox.
).
Passo 7
Parte (b): máxima vazão para
.
- Primeiro obtenha
:
- Como
, computamos via
Portanto
- Agora calculamos
e :
(Observe que eu usei
.)
- Finalmente, a vazão para esse
usando Manning:
Substituindo os números (ou usando a forma
do passo 4) obtém-se numericamente
Intuição final: essa vazão máxima (para
) é bem maior do que a de projeto
, o que significa que a galeria de 2 m de diâmetro, com essas condições, tem capacidade suficiente.