Uma galeria de águas pluviais de 2 m de diâmetro, \mathrm{n}=0,015 e declividade de 0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine:
a) A altura da lâmina d’água (y) (1,5)
b) A máxima vazăo transportada. Considere que a vazăo ocorre em \mathrm{y} / \mathrm{D}=0,95(0,5)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros.
  • Perguntas:
    1. Determinar a altura da lâmina d’água \,y quando a vazão é \,1,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    2. Determinar a máxima vazão transportada, considerando que isso ocorre em \,y/D = 0,95.
  • Dados fornecidos:
    D = 2\\ \mathrm{m},\qquad n = 0{,}015,\qquad S = 0{,}002,\qquad Q = 1{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    Observação: o raio é \,r = D/2 = 1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar (fórmula de Manning para escoamento livre, regime uniforme):
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • \,Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • \,n é o coeficiente de rugosidade de Manning;
  • \,A é a área molhada do escoamento ( \mathrm{m}^2);
  • \,R é o raio hidráulico, definido por \,R = \dfrac{A}{P} ( \mathrm{m}), com P perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • \,S é a declividade (adimensional) e \,S^{1/2} é sua raiz quadrada.
Explicação didática: a fórmula diz que a vazão cresce com a área e com o raio hidráulico (que mede quão “grosso” é o escoamento), e decresce com a rugosidade n. Para conduto circular parcialmente cheio, A e P dependem da profundidade relativa, que chamamos por \theta (ângulo central que corresponde ao trecho molhado do círculo). Vamos expressar tudo em função de \theta e, depois, relacionar \theta com y.

Passo 3

Geometria do círculo parcialmente cheio (raio r=1\\ \mathrm{m}).
Definimos \theta = ângulo central (em radianos) correspondente ao setor molhado. As fórmulas padrão para o segmento circular são:
  • Área molhada:
A = \frac{r^2}{2}\,(\theta - \sin\theta).
  • Perímetro molhado (comprimento do arco):
P = r\,\theta.
  • Raio hidráulico:
R = \frac{A}{P} = \frac{\frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta)}{r\,\theta} = \frac{r}{2}\,\frac{\theta - \sin\theta}{\theta}.
  • Relação entre profundidade y (do fundo ao nível da água) e \theta:
y = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr).
Comentário rápido: essa expressão vem de ver a posição do cordão horizontal (nível da água) em relação ao centro do círculo.
Como no nosso caso r=1\\ \mathrm{m}, as fórmulas simplificam:
A = \tfrac{1}{2}(\theta - \sin\theta),\qquad P=\theta,\qquad R = \tfrac{1}{2}\frac{\theta - \sin\theta}{\theta}.

Passo 4

Escrever Q em função de \theta. Substituindo A e R na fórmula de Manning:
Q(\theta) = \frac{1}{n}\;A(\theta)\;[R(\theta)]^{2/3}\;S^{1/2}.
Com r=1 e A=\tfrac{1}{2}(\theta-\sin\theta) e R=\tfrac{1}{2}\dfrac{\theta-\sin\theta}{\theta}, temos
Q(\theta) = \frac{1}{n}\,\frac{1}{2}(\theta-\sin\theta)\,\left(\frac{1}{2}\frac{\theta-\sin\theta}{\theta}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Reorganizando (útil para cálculo):
Q(\theta) = \frac{S^{1/2}}{n}\,\biggl[\tfrac{1}{2}(\theta-\sin\theta)\biggr]^{5/3}\,\theta^{-2/3}.
Agora calculamos o factor constante com os dados:
\frac{S^{1/2}}{n}=\frac{\sqrt{0{,}002}}{0{,}015}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{0{,}002}\approx 0{,}04472136,\qquad \frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}015}=66{,}666\ldots
K \equiv \frac{S^{1/2}}{n} \approx 66{,}666\ldots\times 0{,}04472136 \approx 2{,}981424.
Assim, para facilitar os testes numéricos usamos
Q(\theta) \approx 2{,}981424\;\biggl[\tfrac{1}{2}(\theta-\sin\theta)\biggr]^{5/3}\,\theta^{-2/3}.

Passo 5

Resolver para \theta tal que Q(\theta)=1{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Vou usar tentativas (método de aproximação incremental / interpolação), explicando os cálculos intermediários.
  • Teste \theta=2{,}00: A=\tfrac{1}{2}(2-\sin 2)=0{,}5(2-0{,}9093)=0{,}54535.
Q(2)\approx 2{,}981424\;A^{5/3}\;\theta^{-2/3}\approx 2{,}981424\times 0{,}54535^{5/3}\times 2^{-2/3}\approx 0{,}68\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conclusão: muito menor que 1{,}5.
  • Teste \theta=2{,}50: \sin 2{,}5\approx 0{,}59847,\qquad A=0{,}5(2{,}5-0{,}59847)=0{,}950765.
Q(2{,}5)\approx 2{,}981424\times 0{,}950765^{5/3}\times 2{,}5^{-2/3}\approx 1{,}485\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conclusão: um pouco menor que 1{,}5.
  • Teste \theta=2{,}52: \sin 2{,}52\approx 0{,}5784,\qquad A=0{,}5(2{,}52-0{,}5784)=0{,}9708.
Q(2{,}52)\approx 2{,}981424\times 0{,}9708^{5/3}\times 2{,}52^{-2/3}\approx 1{,}535\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conclusão: agora ficou um pouco maior que 1{,}5.
Entre \theta=2{,}50 e \theta=2{,}52 a função Q(\theta) cruza 1{,}5. Fazendo interpolação linear aproximada (suficiente aqui para boa precisão):
\theta \approx 2{,}50 + (2{,}52-2{,}50)\frac{1{,}5-1{,}485}{1{,}535-1{,}485} \approx 2{,}50 + 0{,}02\times\frac{0{,}015}{0{,}05}\approx 2{,}506.
Verificação rápida em \theta\approx 2{,}506 Q\approx 1{,}500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Portanto \theta\approx 2{,}506\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Calcular a profundidade y a partir de \theta.
Usamos a relação
y = r\bigl(1-\cos(\theta/2)\bigr),\qquad r=1\\ \mathrm{m}.
Com \theta/2 \approx 1{,}253\\ \mathrm{rad}:
\cos(1{,}253)\approx 0{,}3139,
logo
y \approx 1\cdot(1-0{,}3139)=0{,}6861\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para prova: y\approx 0{,}686\\ \mathrm{m} (aprox. 0{,}69\\ \mathrm{m}).

Passo 7

Parte (b): máxima vazão para \,y/D = 0{,}95.
  • Primeiro obtenha y:
y = 0{,}95\,D = 0{,}95\times 2 = 1{,}90\\ \mathrm{m}.
  • Como r=1\\ \mathrm{m}, computamos \theta via
y = r(1-\cos(\theta/2)) \quad\Rightarrow\quad \cos(\theta/2) = 1 - y/r = 1 - 1{,}9 = -0{,}9.
Portanto
\theta/2 = \operatorname{arccos}(-0{,}9)\approx 2{,}69056585\\ \mathrm{rad},\qquad \theta \approx 5{,}3811317\\ \mathrm{rad}.
  • Agora calculamos A e P:
A = \tfrac{1}{2}(\theta - \sin\theta)\approx \tfrac{1}{2}\bigl(5{,}3811317 - (-0{,}78659)\bigr)\approx 3{,}08386\\ \mathrm{m}^2.
(Observe que eu usei \sin\theta\approx -0{,}78659.)
P=\theta\approx 5{,}38113\\ \mathrm{m},\qquad R = \frac{A}{P}\approx \frac{3{,}08386}{5{,}38113}\approx 0{,}5729\\ \mathrm{m}.
  • Finalmente, a vazão para esse \theta usando Manning:
Q_{\max} = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo os números (ou usando a forma Q(\theta) do passo 4) obtém-se numericamente
Q_{\max}\approx 6{,}34\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Intuição final: essa vazão máxima (para y/D=0{,}95) é bem maior do que a de projeto 1{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, o que significa que a galeria de 2 m de diâmetro, com essas condições, tem capacidade suficiente.

Resposta

y = 0{,}686\\ \mathrm{m}\n
Q_{\max} = 6{,}34\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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