1 pt. É correto afirmar que
quando
, o que indica que os eixos principais de deformação específica coincidem com os eixos principais de tensão.
a) Verdadeiro.
b) Falso.
a) Verdadeiro.
b) Falso.
Passo 1
O enunciado pergunta se é correto afirmar que
sempre que
, e interpreta isso como garantia de que os eixos principais de deformação específica coincidem com os eixos principais de tensão.
Informações dadas: a afirmação relaciona a componente de cisalhamento da tensão com a componente de cisalhamento da deformação (engenharia)
, e conclui sobre a coincidência dos eixos principais.
Informações dadas: a afirmação relaciona a componente de cisalhamento da tensão
Passo 2
Primeiro vamos definir limpinho o que cada coisa significa (porque essas palavras às vezes confundem):
-
é a componente de cisalhamento do tensor de tensões no sistema de coordenadas . Quando em um determinado par de eixos , esses eixos são eixos principais de tensão (ou seja, não existe cisalhamento; só tensões normais). -
é a componente de cisalhamento (engenharia) da deformação no mesmo sistema. Quando , esses eixos são eixos principais de deformação (não existe deformação de cisalhamento; só deformações normais).
A pergunta essencial é se o fato deimplica sempre (logo, se os eixos principais de tensão sempre coincidem com os de deformação).
Passo 3
Agora uma aula rápida e prática sobre a relação tensão–deformação para o caso mais simples (caso que muita gente conhece e adora): material linear isotrópico (Hooke linear, pequenas deformações).
- Em notação tensorial pequena, a componente de cisalhamento do tensor de tensões e do tensor de deformações estão relacionadas por
onde
é a componente tensorial de cisalhamento e
é o módulo de cisalhamento (positivo).
- A deformação de engenharia é
. Juntando as duas igualdades obtemos
Isto mostra que, para um material linear isotrópico,
implica imediatamente
. Consequência: tensões e deformações são coaxiais — os eixos principais de tensão e de deformação coincidem nesse caso. Dica para a prova: sempre que o enunciado mencionar “material isotrópico e linear” ou “lei de Hooke”, você pode usar essa proporcionalidade direta entre
e
.
Passo 4
Mas — e aqui vem o ponto importante — a afirmação do enunciado é geral (sem dizer “para material isotrópico”), então precisamos considerar o caso geral. Em materiais anisótropos (por exemplo materiais compostos, ortotrópicos, cristalinos, etc.) a relação linear entre tensões e deformações tem forma matricial geral:
onde
,
é o vetor de tensões e
é a matriz de conformabilidade (componentes que podem acoplar tensões normais a deformações de cisalhamento). Em particular, a componente de engenharia
pode ter a forma (escrevendo apenas os termos relevantes em 2D por simplicidade)
onde
e
podem ser não nulos se houver acoplamento entre tensões normais e deformações de cisalhamento. Assim, mesmo que
, se
ou
forem diferentes de zero e
ou
for não nulo, teremos
. Isso fornece um contraexemplo físico: em materiais anisótropos, tensões normais podem gerar deformações de cisalhamento — logo os eixos principais de tensão podem não coincidir com os eixos principais de deformação.
Exemplo concreto e simples (hipotético) para intuir: suponha um material tal que . Se
mas
, então
será não nulo.
Exemplo concreto e simples (hipotético) para intuir: suponha um material tal que
Passo 5
Conclusão e dica de prova: a afirmação é verdadeira apenas sob a hipótese adicional de material isotrópico linear (lei de Hooke simples), porque aí
é proporcional a
. Sem essa hipótese (caso geral, materiais anisótropos), a afirmação é falsa porque podem existir termos de acoplamento que tornam
mesmo com
. Portanto, como a afirmação foi feita de maneira geral, a resposta correta é que ela é falsa.
Resposta
b) Falso.