Exercício 6.16. Um tubo de 10 cm de diâmetro externo tem 130 aletas longitudinais de aço ( \mathrm{k}=40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) com 5,8 \mathrm{~cm} de altura e 0,2 \mathrm{~cm} de espessura. O ar ambiente está a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película igual a 5 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da superfície do tubo é 60^{\circ} \mathrm{C}. Calcular:
a) A eficiência da aleta;
b) O fluxo de calor, por unidade de comprimento, pelo tubo aletado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: D=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas: N=130.
  • Material da aleta: aço com condutividade térmica k=40\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Altura da aleta (medida radial, do corpo até a ponta): L=5{,}8\\ \mathrm{cm}=0{,}058\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da aleta: t=0{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção externo: h=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Temperatura da superfície do tubo (base das aletas): T_b=60^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a eficiência de uma aleta ( \eta_{\text{aleta}} );
(b) o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo aletado (isto é, Q' em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m})).
Observação de modelo (será usado nos passos seguintes): tratar cada aleta como uma aleta reta de seção retangular, espessura t, comprimento L, com convecção nas duas faces e também na ponta. Resolver por unidade de comprimento longitudinal do tubo (tomar 1 m de comprimento axial).

Passo 2

Apresentar a teoria e as fórmulas que vou usar (explicando cada termo, passo a passo).
Modelo unidimensional para aleta retangular (por unidade de comprimento axial = 1\\ \mathrm{m}):
  • Área de seção transversal da aleta (por unidade de comprimento axial): A_c = t\cdot 1 = t.
  • Perímetro molhado da aleta (por unidade de comprimento axial), convectivo nas duas faces: P = 2\cdot 1 = 2.
  • Parâmetro característico m (tem dimensão 1/\mathrm{m}) definido por
m = \sqrt{\dfrac{h P}{k A_c}}.
Explicação das variáveis: h é coeficiente de convecção, P é o perímetro exposto à convecção por unidade de comprimento axial, k é condutividade da aleta e A_c é a área de seção transversal (por unidade axial). Para nossa configuração isto simplifica para
m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
Eficiência da aleta com convecção também na ponta (fórmula padrão; derivada da solução da equação de condução unidimensional com condição de convecção na ponta):
\eta_{\text{aleta}} = \frac{\operatorname{sinh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{mL\left[\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)\right]}.
Explicação: \eta_{\text{aleta}} é a razão entre o calor realmente perdido pela aleta e o calor que seria perdido se toda a aleta estivesse à temperatura da base T_b. A presença do termo \dfrac{h}{m k} reflete a convecção na ponta.
Área superficial de uma aleta (para convecção), por unidade de comprimento axial:
A_{\text{aleta}} = 2L + t,
pois há duas faces de área L\times 1 e a ponta de área t\times 1.
Calor fornecido por uma aleta (por unidade axial, por aleta):
q_{\text{aleta}} = \eta_{\text{aleta}}\; h \; A_{\text{aleta}}\; \theta_b, \quad\text{onde}\quad \theta_b = T_b - T_\infty.
Explicação: h A_{\text{aleta}} \theta_b é o calor que sairia se toda a aleta estivesse à temperatura da base; a eficiência reduz esse valor ao real.
Calor do trecho do cilindro não coberto pelas aletas (por unidade de comprimento axial):
  • Perímetro do tubo: \pi D.
  • A zona descoberta por unidade axial (área de troca sem aletas) é \,A_{\text{nu}} = \pi D - N t\, (substitui-se a ocupação das aletas pela soma de suas espessuras sobre a circunferência).
  • Assim o calor do trecho descoberto é
q_{\text{nu}} = h\; A_{\text{nu}}\; \theta_b.
Calor total por unidade de comprimento:
Q' = N\, q_{\text{aleta}} + q_{\text{nu}}.

Passo 3

Calcular m substituindo os dados na expressão m=\sqrt{2h/(k t)}.
Substituições (tudo em \mathrm{m}, \mathrm{kcal}/\mathrm{h} etc.):
h=5,\quad k=40,\quad t=0{,}002.
Logo
m = \sqrt{\dfrac{2\cdot 5}{40\cdot 0{,}002}} = \sqrt{\dfrac{10}{0{,}08}} = \sqrt{125} \approx 11{,}1803399\\ \mathrm{m}^{-1}.
Calcular o produto mL:
mL \approx 11{,}1803399 \times 0{,}058 \approx 0{,}64846.

Passo 4

Calcular o termo \dfrac{h}{m k} que aparece na fórmula da eficiência:
\dfrac{h}{m k} = \dfrac{5}{11{,}1803399 \times 40} = \dfrac{5}{447{,}213596} \approx 0{,}0111803.
Agora calcular \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) (usar valores de mL do passo anterior):
mL\approx 0{,}64846\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sinh}(mL)\approx 0{,}69495,\quad \operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}21795.

Passo 5

Calcular a eficiência da aleta usando a fórmula
\eta_{\text{aleta}} = \frac{\operatorname{sinh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{mL\left[\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)\right]}.
Substituindo números:
\text{numerador} \approx 0{,}69495 + 0{,}0111803\times 1{,}21795 \approx 0{,}70855,
\text{denominador interno} \approx 1{,}21795 + 0{,}0111803\times 0{,}69495 \approx 1{,}22572,
mL\cdot(\text{denominador interno}) \approx 0{,}64846\times 1{,}22572 \approx 0{,}79490.
Portanto
\eta_{\text{aleta}} \approx \dfrac{0{,}70855}{0{,}79490} \approx 0{,}8912.
Arredondando com sentido prático:
\eta_{\text{aleta}} \approx 0{,}891.
Comentário rápido de interpretação: isso significa que cada aleta remove cerca de 89{,}1\% do calor que removeria se estivesse inteiramente à temperatura da base.

Passo 6

Calcular o calor por aleta por unidade de comprimento axial.
Primeiro \theta_b:
\theta_b = T_b - T_\infty = 60 - 20 = 40\\ ^\circ\mathrm{C}.
Área superficial de cada aleta (por metro de comprimento):
A_{\text{aleta}} = 2L + t = 2\times 0{,}058 + 0{,}002 = 0{,}118\\ \mathrm{m}^2\\ \text{(por m axial)}.
Calor por aleta:
q_{\text{aleta}} = \eta_{\text{aleta}}\; h \; A_{\text{aleta}}\; \theta_b \approx 0{,}8912 \times 5 \times 0{,}118 \times 40.
Calcule passo a passo:
5\times 0{,}118 = 0{,}59,\quad 0{,}59\times 40 = 23{,}6,
q_{\text{aleta}} \approx 0{,}8912 \times 23{,}6 \approx 21{,}02\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m})\\ \text{por aleta}.
Total das aletas ( N=130 ):
Q'_{\text{aletas}} = N\, q_{\text{aleta}} \approx 130 \times 21{,}02 \approx 2732{,}6\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).

Passo 7

Calcular o calor do trecho do tubo não coberto pelas aletas.
Área descoberta por unidade de comprimento axial:
A_{\text{nu}} = \pi D - N t = \pi(0{,}10) - 130\times 0{,}002.
Calcule:
\pi(0{,}10) \approx 0{,}3141593,\quad 130\times 0{,}002 = 0{,}26,
A_{\text{nu}} \approx 0{,}3141593 - 0{,}26 = 0{,}0541593\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.
Calor do trecho nu:
q_{\text{nu}} = h\, A_{\text{nu}}\, \theta_b \approx 5 \times 0{,}0541593 \times 40 \approx 10{,}8319\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).

Passo 8

Somar contribuições das aletas e do trecho nu para obter o fluxo total por unidade de comprimento:
Q' = Q'_{\text{aletas}} + q_{\text{nu}} \approx 2732{,}6 + 10{,}8319 \approx 2743{,}4\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).
Arredondando adequadamente:
Q' \approx 2743\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).

Resposta

(a) \eta_{\text{aleta}} \approx 0{,}891
(b) Q' \approx 2743\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m})

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