Dimensionar uma linha para escoar água utilizando tubos de aço carbono cujo comprimento total é 50 m . A vazão desejada é 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} Utilizar o método da velocidade econômica admitindo rede de distribuição de água em cidades.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: dimensionar uma linha (escolher diâmetro do tubo) para escoar água, usando o método da velocidade econômica, para uma rede de distribuição de água em cidade.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento total da tubulação: 50\\ \mathrm{m}.
    • Vazão desejada: 20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Observação prática (não dada explicitamente no enunciado, mas necessária para o método): é preciso escolher um valor de referência para a velocidade econômica v (faixa típica em redes urbanas). No passo seguinte eu explico essa escolha.

Passo 2

Entendendo o método da velocidade econômica e a fórmula básica
  • Ideia do método: escolher o diâmetro de modo que a velocidade do escoamento fique numa faixa “econômica” (compromisso entre custo de material e perda de carga). Para redes de água urbana usa-se tipicamente uma faixa aproximada de 0,6 a 1,2\\ \mathrm{m/s}; um valor prático e frequentemente adotado é 1,0\\ \mathrm{m/s} (ou entre 0,8 e 1,0\\ \mathrm{m/s}). Aqui vou justificar e adotar v=1,0\\ \mathrm{m/s} como referência porque é simples e comum em dimensionamentos iniciais.
  • Fórmula que relaciona vazão Q, velocidade v e diâmetro interno D:
Q = v \cdot A
onde A é a área da seção circular,
A = \frac{\pi D^2}{4}.
  • Isolando D:
D = \sqrt{\frac{4Q}{\pi v}}.
Explicação das variáveis:
  • Q: vazão volumétrica (unidades \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • v: velocidade média do fluxo na seção (unidades \mathrm{m/s});
  • D: diâmetro interno do tubo (unidades \mathrm{m}).

Passo 3

Converter unidades da vazão para o SI e calcular com v=1,0\\ \mathrm{m/s}
  • Converter Q: Q = 20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} = \frac{20}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0,005556\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Agora aplicar a fórmula para v=1,0\\ \mathrm{m/s}:
D = \sqrt{\frac{4Q}{\pi v}} = \sqrt{\frac{4\cdot 0,005556}{\pi\cdot 1,0}}.
Calcular passo a passo:
4Q = 4\cdot 0,005556 = 0,022222,
\frac{4Q}{\pi} = \frac{0,022222}{\pi} \approx 0,007070,
D = \sqrt{0,007070}\approx 0,0841\\ \mathrm{m} = 84,1\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro teórico ideal correspondente a v=1{,}0\\ \mathrm{m/s} é D \approx 84{,}1\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Verificação com outra velocidade típica e resultado prático
  • Se usássemos v=0{,}8\\ \mathrm{m/s} (também comum), teríamos
D = \sqrt{\frac{4\cdot 0,005556}{\pi\cdot 0,8}}\approx 0,0941\\ \mathrm{m}=94{,}1\\ \mathrm{mm}.
  • Conclusão: o diâmetro calculado fica entre \approx 84\\ \mathrm{mm} e \approx 94\\ \mathrm{mm} dependendo da velocidade escolhida na faixa econômica.

Passo 5

Escolha do diâmetro comercial e verificação da velocidade resultante
  • Tubos de aço carbono vêm em diâmetros nominais comerciais (por exemplo DN80 80\\ \mathrm{mm}, DN100 100\\ \mathrm{mm}). Regra prática: adotar o diâmetro comercial imediatamente superior ao diâmetro teórico para garantir margem e reduzir perda de carga (evita velocidade excessiva).
  • Diâmetro teórico D\approx 84{,}1\\ \mathrm{mm} → próximo comercial superior: 100\\ \mathrm{mm}.
  • Calcular a velocidade resultante usando D=0{,}10\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,10)^2}{4} = \pi\cdot 0,0025 \approx 0,007854\\ \mathrm{m}^2,
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,005556}{0,007854}\approx 0,707\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação: v\approx 0{,}707\\ \mathrm{m/s} está dentro da faixa econômica típica para redes urbanas (entre 0{,}6 e 1{,}2\\ \mathrm{m/s} ou entre 0{,}7 e 1{,}2\\ \mathrm{m/s} conforme normas locais). Portanto DN100 é uma escolha adequada e conservadora.
  • Para comparação, se escolhesse DN80 ( D=0{,}08\\ \mathrm{m} ) a velocidade seria
A_{80}=\frac{\pi(0,08)^2}{4}\approx 0,005027\\ \mathrm{m}^2,
v_{80}=\frac{0,005556}{0,005027}\approx 1,106\\ \mathrm{m/s},
que também está aceitável, mas é mais elevada (mais perda de carga). Por isso a recomendação é ir para DN100.

Passo 6

Resumo prático e recomendações finais (o que levar para a prova)
  • Passos rápidos para fazer na prova:
    1. Converter Q para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    2. Escolher uma velocidade econômica v (usar 1{,}0\\ \mathrm{m/s} ou 0{,}8\\ \mathrm{m/s} como referência).
    3. Aplicar D=\sqrt{\dfrac{4Q}{\pi v}}.
    4. Arredondar para o próximo diâmetro comercial superior e checar a velocidade resultante v=Q/(\pi D^2/4).
    5. Garantir que v final esteja dentro da faixa aceitável para redes urbanas.
  • Minha recomendação para este problema: escolher tubo de aço carbono com diâmetro comercial 100\\ \mathrm{mm} (comprimento 50\\ \mathrm{m}). Isso dá velocidade \approx 0{,}707\\ \mathrm{m/s}, que é econômico e conservador.

Resposta

Diâmetro teórico: D\approx 0,0841\\ \mathrm{m} (84,1 mm).
Diâmetro comercial recomendado: D=0{,}10\\ \mathrm{m} (tubo 100\\ \mathrm{mm}).
Velocidade resultante com D=0{,}10\\ \mathrm{m}: v\approx 0{,}707\\ \mathrm{m/s}.

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