Sabendo que um compressor de 2 estágios, comprime o ar de uma pressão igual a 4 atm para 24 atm na descarga, encontre:
a. A taxa de compressão;
b. Encontre o número de estágios para um compressor que trabalha com a mesma taxa de compressão encontrada no item a, entretanto operando com pressão de 1 atm até pressão de 15 atm .

Passo 1

O enunciado dá duas situações e pede duas coisas. Vamos listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
  • Dados da situação (a): um compressor de dois estágios comprime ar de 4\\ \text{atm} até 24\\ \text{atm}.
  • Pergunta (a): encontre a taxa de compressão.
  • Dados da situação (b): agora temos um compressor que deve operar com a mesma taxa de compressão encontrada em (a), comprimindo de 1\\ \text{atm} até 15\\ \text{atm}.
  • Pergunta (b): encontre o número de estágios necessários para essa segunda operação.
Observação: neste enunciado não foi dito explicitamente, mas é habitual assumir que os estágios têm a mesma razão de compressão (ou seja, compressão igualmente dividida entre os estágios). Vou usar essa hipótese porque é a mais comum e faz sentido para “mesma taxa de compressão por estágio”.

Passo 2

Conceito importante e fórmula básica (aula rapidinha):
  • A razão de compressão total (ou razão de pressão total) é a relação entre a pressão de descarga e a pressão de sucção. Vou chamar isso de R_{\text{ov}}. Matematicamente:
R_{\text{ov}}=\frac{\text{pressão de descarga}}{\text{pressão de sucção}}.ããçã
  • Se temos n estágios idênticos, cada estágio tem uma razão de compressão por estágio que vou chamar de r. A relação entre a razão total e a razão por estágio é
R_{\text{ov}}=r^{\,n}.
Isso significa que aplicar n vezes a razão r (multiplicar por r em cada estágio) dá a razão total. Essa fórmula é o que vamos usar para encontrar r quando R_{\text{ov}} e n são conhecidos, ou para achar n quando R_{\text{ov}} e r são conhecidos.
Explicando a resolução da equação exponencial: para isolar r com n conhecido usamos raiz enésima:
r=R_{\text{ov}}^{1/n}.
Para isolar n quando r e R_{\text{ov}} são conhecidos, aplicamos logaritmo:
n=\frac{\ln R_{\text{ov}}}{\ln r}.

Passo 3

Aplicando para o item (a): calcule a razão total para o compressor de 2 estágios que vai de 4\\ \text{atm} para 24\\ \text{atm}.
R_{\text{ov}}=\frac{24}{4}=6.
Então a razão de pressão total é 6.

Passo 4

Agora encontramos a taxa de compressão por estágio r para n=2. Usamos a fórmula da raiz enésima:
r=R_{\text{ov}}^{1/2}=\sqrt{6}.
Isso é a resposta exata em forma radical. Se quisermos um valor numérico aproximado, calculamos a raiz quadrada de 6.

Passo 5

Cálculo numérico da raiz: \sqrt{6} vale aproximadamente 2,44949. Vou arredondar a uma precisão razoável para prova:
r\approx 2,4495.
Interpretação: cada estágio aumenta a pressão em aproximadamente um fator 2,4495. Por exemplo, começando em 4\\ \text{atm}, após um estágio teríamos 4\times 2,4495\approx 9,798\\ \text{atm} e após o segundo 9,798\times 2,4495\approx 24\\ \text{atm} (arredondamentos à parte).

Passo 6

Agora vamos ao item (b). Dados: mesma taxa por estágio r=\sqrt{6} e queremos comprimir de 1\\ \text{atm} até 15\\ \text{atm}. Primeiro calcule a razão total necessária:
R_{\text{ov,2}}=\frac{15}{1}=15.

Passo 7

Usamos a relação R_{\text{ov,2}}=r^{\,n}. Para encontrar n aplicamos logaritmo natural:
n=\frac{\ln R_{\text{ov,2}}}{\ln r}.
Substituindo r=\sqrt{6} e R_{\text{ov,2}}=15 obtemos
n=\frac{\ln 15}{\ln \sqrt{6}}.

Passo 8

Simplificação usando \ln \sqrt{6}=\tfrac{1}{2}\ln 6:
n=\frac{\ln 15}{\tfrac{1}{2}\ln 6}=\frac{2\ln 15}{\ln 6}.
Agora cálculo numérico aproximado (valores das funções logaritmo):
\ln 15\approx 2,70805 e \ln 6\approx 1,79176. Então
n\approx\frac{2\times 2,70805}{1,79176}=\frac{5,41610}{1,79176}\approx 3,022.

Passo 9

Interpretação física e escolha inteira de estágios: o resultado n\approx 3,022 é um número real. Mas estágios são unidades inteiras na prática — não existe “0,022” de estágio. Portanto precisamos decidir como arredondar:
  • Se exigimos que o compressor atinja pelo menos 15\\ \text{atm} com essa mesma razão por estágio, devemos tomar o menor inteiro n tal que r^{\,n}\ge 15.
  • Verificação: para n=3 temos
r^{3}=(\sqrt{6})^{3}=6^{3/2}=6\sqrt{6}\approx 6\times 2,4495\approx 14,697,
que é menor que 15 — portanto 3 estágios seriam insuficientes.
  • Para n=4 temos
r^{4}=(\sqrt{6})^{4}=6^{2}=36,
que é maior que 15, logo 4 estágios ultrapassam a pressão desejada (o que é aceitável se quiser atingir ou exceder 15 \text{atm}).
Conclusão prática: com a mesma taxa por estágio obtida em (a) é necessário usar 4 estágios para garantir compressão até 15\\ \text{atm}.

Resposta

(a) r=\sqrt{6}\approx 2,4495
(b) n\approx 3,022, portanto é necessário usar 4 estágios (inteiro)

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