Sabendo que um compressor de 2 estágios, comprime o ar de uma pressão igual a 4 atm para 24 atm na descarga, encontre:
a. A taxa de compressão;
b. Encontre o número de estágios para um compressor que trabalha com a mesma taxa de compressão encontrada no item a, entretanto operando com pressão de 1 atm até pressão de 15 atm .
a. A taxa de compressão;
b. Encontre o número de estágios para um compressor que trabalha com a mesma taxa de compressão encontrada no item a, entretanto operando com pressão de 1 atm até pressão de 15 atm .
Passo 1
O enunciado dá duas situações e pede duas coisas. Vamos listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
- Dados da situação (a): um compressor de dois estágios comprime ar de
até . - Pergunta (a): encontre a taxa de compressão.
- Dados da situação (b): agora temos um compressor que deve operar com a mesma taxa de compressão encontrada em (a), comprimindo de
até . - Pergunta (b): encontre o número de estágios necessários para essa segunda operação.
Observação: neste enunciado não foi dito explicitamente, mas é habitual assumir que os estágios têm a mesma razão de compressão (ou seja, compressão igualmente dividida entre os estágios). Vou usar essa hipótese porque é a mais comum e faz sentido para “mesma taxa de compressão por estágio”.
Passo 2
Conceito importante e fórmula básica (aula rapidinha):
- A razão de compressão total (ou razão de pressão total) é a relação entre a pressão de descarga e a pressão de sucção. Vou chamar isso de
. Matematicamente:
- Se temos
estágios idênticos, cada estágio tem uma razão de compressão por estágio que vou chamar de . A relação entre a razão total e a razão por estágio é
Isso significa que aplicar
vezes a razão
(multiplicar por
em cada estágio) dá a razão total. Essa fórmula é o que vamos usar para encontrar
quando
e
são conhecidos, ou para achar
quando
e
são conhecidos.
Explicando a resolução da equação exponencial: para isolar
com
conhecido usamos raiz enésima:
Para isolar
quando
e
são conhecidos, aplicamos logaritmo:
Passo 3
Aplicando para o item (a): calcule a razão total para o compressor de 2 estágios que vai de
para
.
Então a razão de pressão total é
.
Passo 4
Agora encontramos a taxa de compressão por estágio
para
. Usamos a fórmula da raiz enésima:
Isso é a resposta exata em forma radical. Se quisermos um valor numérico aproximado, calculamos a raiz quadrada de
.
Passo 5
Cálculo numérico da raiz:
vale aproximadamente
. Vou arredondar a uma precisão razoável para prova:
Interpretação: cada estágio aumenta a pressão em aproximadamente um fator
. Por exemplo, começando em
, após um estágio teríamos
e após o segundo
(arredondamentos à parte).
Passo 6
Agora vamos ao item (b). Dados: mesma taxa por estágio
e queremos comprimir de
até
. Primeiro calcule a razão total necessária:
Passo 7
Usamos a relação
. Para encontrar
aplicamos logaritmo natural:
Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Simplificação usando
:
Agora cálculo numérico aproximado (valores das funções logaritmo):
e
. Então
Passo 9
Interpretação física e escolha inteira de estágios: o resultado
é um número real. Mas estágios são unidades inteiras na prática — não existe “0,022” de estágio. Portanto precisamos decidir como arredondar:
- Se exigimos que o compressor atinja pelo menos
com essa mesma razão por estágio, devemos tomar o menor inteiro tal que . - Verificação: para
temos
que é menor que
— portanto 3 estágios seriam insuficientes.
- Para
temos
que é maior que
, logo 4 estágios ultrapassam a pressão desejada (o que é aceitável se quiser atingir ou exceder 15
).
Conclusão prática: com a mesma taxa por estágio obtida em (a) é necessário usar 4 estágios para garantir compressão até
.
Resposta
(a)
(b)
, portanto é necessário usar
estágios (inteiro)