Dimensione a base de um canal trapezoidal com taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, declividade de fundo I=0,0010 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares, para transportar uma vazão Q=8,6 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}. Utilize uma razão de aspecto \mathrm{m}=\mathrm{b} / \mathrm{yo}=3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dimensione a base b de um canal trapezoidal para transportar a vazão \,Q=8,6\\ \mathrm{m^{3}/s}\,. Dados fornecidos e condições:
  • Vazão: \,Q=8,6\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Declividade do fundo: \,I=0,0010\\ \mathrm{m/m}.
  • Taludes: 2\mathrm{H}:1\mathrm{V} → fator lateral \,z=2.
  • Revestimento: alvenaria de pedra argamassada em condições regulares (usarei coeficiente de Manning \,n; a seguir justifico o valor adotado).
  • Razão de aspecto prescrita: \,m=\dfrac{b}{y_0}=3 (ou seja \,b=3\,y_0).
  • Objetivo: encontrar a largura da base b. (Vou também calcular a profundidade de projeto \,y_0 porque \,b depende dela.)
Observação sobre o coeficiente de rugosidade: para alvenaria de pedra argamassada em condições regulares um valor típico usado em dimensionamento é \,n=0,030. Vou adotar \,n=0,030. Se você tiver uma tabela do seu professor com outro valor, troque \,n e refaça apenas os cálculos numéricos.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona vazão e características do canal (fórmula de Manning) e explico cada variável:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • \,Q é a vazão (m³/s);
  • \,n é o coeficiente de rugosidade de Manning (s/m^{1/3});
  • \,A é a área da seção molhada (m²);
  • \,R é o raio hidráulico \,R=\dfrac{A}{P} (m), sendo \,P o perímetro molhado (m);
  • \,S é a declividade do fundo (adimensional), aqui \,S=I.
Agora escrevemos a geometria do canal trapezoidal. Para profundidade \,y e base \,b com taludes \,z (horizontal por unidade vertical, aqui \,z=2):
  • Área:
A = y\left(b + z\,y\right).
(Justificativa rápida: largura média entre base b e topo b+2zy é b+zy, multiplicando por y dá a área.)
  • Perímetro molhado:
P = b + 2\,y\sqrt{1+z^2}.
(Dois lados inclinados com comprimento por lado y\sqrt{1+z^2}.)
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}.
Também incorporamos a razão de aspecto dada: \,b=m\,y com \,m=3. Substituiremos b=3y para reduzir tudo a uma equação em \,y.

Passo 3

Substituo b=3y e z=2 nas expressões de A e P e simplifico:
  • Área:
A = y\bigl(b + z\,y\bigr) = y\bigl(3y + 2y\bigr) = y\cdot 5y = 5\,y^{2}.
  • Perímetro:
P = b + 2\,y\sqrt{1+z^{2}} = 3y + 2y\sqrt{1+2^{2}} = y\bigl(3 + 2\sqrt{5}\bigr).
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{5\,y^{2}}{y\bigl(3 + 2\sqrt{5}\bigr)} = y\cdot\frac{5}{3 + 2\sqrt{5}}.
Defino uma constante geométrica para simplificar:
k=\frac{5}{3 + 2\sqrt{5}}.
Calculo numérico de k: \sqrt{5}\approx 2,2360679 3+2\sqrt{5}\approx 7,4721359. Assim
k\approx \frac{5}{7,4721359}\approx 0,6690.
Portanto
R \approx 0,6690\,y.

Passo 4

Substituo A e R na fórmula de Manning e isolo y. Parto de
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Com A=5y^{2} e R=k\,y:
Q=\frac{1}{n}\,\bigl(5y^{2}\bigr)\,\bigl(k\,y\bigr)^{2/3}\,S^{1/2}.
Reorganizando potências de y:
Q=\frac{1}{n}\,5\,k^{2/3}\,S^{1/2}\,y^{2}\,y^{2/3} =\frac{1}{n}\,5\,k^{2/3}\,S^{1/2}\,y^{8/3}.
Logo:
y^{8/3}=\frac{Q\,n}{5\,k^{2/3}\,S^{1/2}}.
Agora substituo valores numéricos:
  • Q=8,6\\ \mathrm{m^{3}/s},
  • n=0,030 (adotado),
  • k\approx 0,6690,
  • S^{1/2}=\sqrt{0,0010} \approx 0,0316228.
Calculo k^{2/3}. Primeiro computei numericamente k^{2/3}\approx 0,765 (detalhe: k^{1/3}\approx 0,8747 e ao quadrar dá \approx 0,765).
Então o denominador é
5\cdot k^{2/3}\cdot S^{1/2}\approx 5\cdot 0,765\cdot 0,0316228 \approx 0,12095.
O numerador é
Q\,n = 8,6\cdot 0,030 = 0,258.
Portanto
y^{8/3}\approx \frac{0,258}{0,12095}\approx 2,132.

Passo 5

Resolvo para y:
y = \bigl(2,132\bigr)^{3/8}.
Avaliação numérica: expoente 3/8=0,375. Assim
y \approx 1,327\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas significativas úteis: \,y_{0}\approx 1,33\\ \mathrm{m}.
Agora calculo a base b usando b=3y:
b = 3\cdot 1,327 \approx 3,981\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \,b\approx 3,98\\ \mathrm{m}.
Observação prática: costuma-se adotar um arredondamento conveniente para construção; por exemplo escolher b=4,00\\ \mathrm{m} e recalcular ligeiramente se necessário. Mas para dimensionamento numérico final temos os valores acima.

Resposta

b=3,98\\ \mathrm{m}
y_{0}=1,33\\ \mathrm{m}

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