Dimensione o diâmetro mínimo dos rebites para unir chapas de aço de 8 mm de espessura utilizando rebites de aço dispostos em dupla linha transversal (dupla fileira). A ligação será solicitada por um esforço de tração de 45 kN , distribuído igualmente entre os rebites.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado (resumido e claro):
  • Pede: dimensionar o diâmetro mínimo dos rebites para unir chapas de aço de espessura 8\\ \text{mm} em ligação com rebites em dupla linha transversal (dupla fileira), quando a ligação é solicitada por um esforço de tração total de 45\\ \text{kN}, distribuído igualmente entre os rebites.
  • Dados que usaremos explicitamente:
    • Carga total: F = 45\\ \text{kN} = 45000\\ \text{N}.
    • Espessura das chapas: t = 8\\ \text{mm} (peguei do enunciado).
    • Arranjo: dupla fileira transversal. Neste tipo de arranjo convencional assume-se aqui um total de 4 rebites (duas linhas com dois rebites cada, configuração muito usada para ligação em dupla fileira), com a carga igualmente repartida entre todos os rebites (conforme o enunciado).
    • Tipo de corte do rebite: cada rebite trabalha em cisalhamento simples (uma superfície de cisalhamento), que é a situação comum em juntas simples de chapas.
  • O objetivo imediato a calcular: encontrar o menor diâmetro teórico d que satisfaça a resistência ao cisalhamento do rebite e verificar o aperto (bearing) na chapa; em seguida escolher um diâmetro comercial/seguro.

Passo 2

Estratégia e explicação dos conceitos que vamos usar (aulas rápidas porém concretas):
  • Como a carga é distribuída igualmente entre n rebites, a força em cada rebite é
F_r=\frac{F}{n}.
Explicação: se a ligação e o arranjo são simétricos e o enunciado diz “distribuído igualmente”, cada rebite suporta a mesma fração da carga total.
  • Modo de ruptura mais crítico que consideramos primeiramente: cisalhamento do rebite. A resistência ao cisalhamento de um rebite é dada pela tensão de cisalhamento admissível multiplicada pela área de cisalhamento do rebite (área circular):
A_s=\frac{\pi d^{2}}{4}.
A condição de segurança em cisalhamento é
F_r \le \tau_{\text{adm}}\;A_s.
Explicando as variáveis: \tau_{\text{adm}} é a tensão de cisalhamento admissível do material do rebite (N/mm ^2 ou MPa); A_s é a área na qual atua o cisalhamento (mm ^2); F_r é a força no rebite (N).
  • Além do cisalhamento do rebite, devemos verificar o aperto (bearing) na chapa: a pressão de contato (bearing stress) que atua na chapa ao redor do furo é
p=\frac{F_r}{d\;t},
onde t é a espessura da chapa. Devemos comparar p com uma tensão admissível da chapa (tipicamente relacionada ao escoamento \,f_y ou à resistência característica do aço) para garantir que a chapa não sofra esmagamento ao redor do furo.
  • Sobre escolher valores de \tau_{\text{adm}} e critérios: normalmente toma-se a resistência ao cisalhamento do aço do rebite como uma fração da resistência à tração última f_u (por exemplo \tau_u\approx 0,6\,f_u), e depois aplica-se um fator de segurança. Para sermos conservadores e didáticos, adotarei valores típicos:
    • resistência à tração do aço do rebite: f_u\approx 400\\ \text{MPa} (valor típico);
    • resistência última ao cisalhamento: \tau_u\approx 0,6\,f_u = 0,6\cdot 400 = 240\\ \text{MPa};
    • adotarei um coeficiente de segurança global \gamma=2{,}0 (prática comum em dimensionamentos didáticos), portanto a tensão de cisalhamento admissível será
    \tau_{\text{adm}}=\frac{\tau_u}{\gamma}=\frac{240}{2}=120\\ \text{MPa}.Explicação: escolhemos valores típicos e um fator de segurança para obter um resultado prático e conservador. Se em projeto real houver normas específicas (NR, Eurocode, ABNT, etc.), esses valores devem ser substituídos pelos valores normativos.

Passo 3

Aplicar a equação de cisalhamento para obter o diâmetro teórico mínimo.
  • Primeiro calculemos a força por rebite com n=4 (assumidos):
F_r=\frac{F}{n}=\frac{45000}{4}=11250\\ \text{N}.
  • A condição de resistência ao cisalhamento é F_r \le \tau_{\text{adm}} \dfrac{\pi d^{2}}{4}. Isolando d:
\frac{\pi d^{2}}{4} \ge \frac{F_r}{\tau_{\text{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad d^{2} \ge \frac{4F_r}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{4F_r}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}}.
  • Substituindo os números (tudo em N e N/mm ^2, lembrando que 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N/mm}^{2}):
d \ge \sqrt{\frac{4\cdot 11250}{\pi\cdot 120}} = \sqrt{\frac{45000}{120\pi}} = \sqrt{\frac{45000}{376{,}9911\ldots}}
Vamos calcular passo a passo (para fazer na prova sem calculadora, pode-se usar aproximações; aqui mostro o cálculo exato numérico):
\frac{45000}{\pi}\approx 14323{,}9, \qquad \frac{14323{,}9}{120}\approx 119{,}366.
Portanto
d \ge \sqrt{119{,}366}\approx 10{,}92\\ \text{mm}.
  • Interpretação: o diâmetro teórico mínimo para que o rebite não seja cortado pelo cisalhamento é d_{\text{teórico}}\approx 10{,}92\\ \text{mm}ó.

Passo 4

Escolha do diâmetro comercial e verificação do aperto (bearing) na chapa.
  • Na prática escolhemos um diâmetro padrão/superior ao valor teórico. O próximo diâmetro comercial comum e conveniente é d=12\\ \text{mm}. Adotar d=11\\ \text{mm} às vezes não é padrão; por segurança e disponibilidade industrial escolhemos 12\\ \text{mm}.
  • Agora verificar o bearing na chapa com d=12\\ \text{mm}. A pressão de contato é
p=\frac{F_r}{d\;t}=\frac{11250}{12\cdot 8}=\frac{11250}{96}=117{,}1875\\ \text{N/mm}^{2}=117{,}2\\ \text{MPa}.
  • Comparar p com uma tensão admissível da chapa: um critério simples é comparar com a tensão de escoamento típica do aço estrutural f_y. Usando f_y\approx 250\\ \text{MPa} (valor típico), p=117{,}2\\ \text{MPa} é bem menor que f_y. Mesmo usando um limite de resistência ao esmagamento menor (por ex. 0{,}6\cdot f_y ou um coeficiente conservador), p continua aceitável. Assim, não há risco de esmagamento da chapa para d=12\\ \text{mm} com os valores adotados.

Passo 5

Resumo de checagens finais, margem e observações práticas.
  • Resistência ao cisalhamento do rebite: com d=12\\ \text{mm},
A_s=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 12^{2}}{4}= \pi\cdot 36 \approx 113{,}10\\ \text{mm}^{2}.
Capacidade ao cisalhamento admissível do rebite:
R_{\tau}=\tau_{\text{adm}} A_s = 120\cdot 113{,}10\approx 13572\\ \text{N}=13{,}57\\ \text{kN},
que é maior que F_r=11{,}25\\ \text{kN}. Logo margem de segurança presente.
  • Bearing na chapa: já calculado p\approx 117{,}2\\ \text{MPa}, aceitável frente a f_y\approx 250\\ \text{MPa}.
  • Observações práticas: se houvesse exigência normativa específica, substituir \tau_{\text{adm}} e f_y pelos valores normativos (ou fator de segurança diferente) e recalcular. Se o arranjo real tiver mais rebites (por exemplo 6 rebites) ou se a distribuição não for perfeitamente igual, refaça com n correto e verificar excentricidades/ângulos que possam causar carregamento desigual. Também checar espaçamentos mínimos entre centros, bordas e prevenção de fendilhamento nas chapas.

Resposta

Diâmetro teórico mínimo d_{\text{teórico}}\approx 10{,}92\\ \text{mm}ó.
Adotar diâmetro comercial seguro: d=12\\ \text{mm}.

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