Um eixo de aço foi fabricado por usinagem para ser utilizado em prensagem de grãos. Ele está submetido a um torque de
e um momento fletor de
. Ele possui como propriedades
, fator de segurança de 2,5 e confiabilidade de
. Para que o eixo não fique solto, os mancais possuem entalhes de raio 2,5 mm , cujos
e
. Calcule:
a) O diâmetro mínimo para o eixo sob os carregamentos descritos estáticos.
b) O diâmetro mínimo para o eixo sob carregamentos flutuantes de forma que ele possua vida infinita. Considere que o torque dado é médio e o momento fletor é alternado. Utilize Goodman.
a) O diâmetro mínimo para o eixo sob os carregamentos descritos estáticos.
b) O diâmetro mínimo para o eixo sob carregamentos flutuantes de forma que ele possua vida infinita. Considere que o torque dado é médio e o momento fletor é alternado. Utilize Goodman.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (valores que vou usar no cálculo) e o que se pede.
Dados do enunciado:
- Torque constante (médio):
- Momento fletor alternado:
- Resistência última do aço:
- Resistência ao escoamento:
- Fator de segurança (informado):
- Confiabilidade desejada:
(vou usar fator de confiabilidade em fadiga). - Entalhes (mancais) com raio
e fatores de concentração: - fator para flexão:
- fator para torção:
- fator para flexão:
O que se pede:
a) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos estáticos (usar o critério adequado para escoamento com o fator de segurança dado).
b) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos flutuantes de forma que tenha vida infinita, considerando: torque dado como médio (constante) e momento fletor alternado; usar o critério de Goodman.
a) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos estáticos (usar o critério adequado para escoamento com o fator de segurança dado).
b) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos flutuantes de forma que tenha vida infinita, considerando: torque dado como médio (constante) e momento fletor alternado; usar o critério de Goodman.
Observação (vou usar estas convenções/assunções, listadas agora para ficar transparente e aplicadas nos cálculos):
- Para tensões nominais em eixo circular maciço: tensão de flexão nominal
e tensão de cisalhamento nominal , com em e em — assim as tensões ficam em . - Aplico os fatores de concentração multiplicando as tensões nominais:
- tensão de flexão máxima:
. - tensão de cisalhamento máxima:
.
- tensão de flexão máxima:
- Para projeto estático uso o critério de escoamento de von Mises (energia de distorção) combinado com o fator de segurança
: . - Para fadiga e vida infinita:
- estimativa da resistência à fadiga (limite de resistência) inicial
(valor típico para aços com acabamento razoável). - levo em conta fatores de modificação: fator de acabamento superficial (ka), fator de tamanho (kb), e fator de confiabilidade (ke) para obter
. Outros fatores (kc,kd,kf) assumidos iguais a 1 (condições ambientais e de carregamento típicas). - uso a forma combinada de tensões para fadiga: define-se tensão alternada equivalente
e tensão média equivalente . No caso dado: flexão é alternada (momento alternado) e torque é médio (constante), logo e . - critério de Goodman linear (usando
para a parte alternada e para a parte média) e mantendo o mesmo fator de segurança :
- estimativa da resistência à fadiga (limite de resistência) inicial
- Vou usar a expressão empírica para o fator de acabamento superficial (para peça “usinada”):
com e (valores padrão de Shigley). - Para o fator de tamanho em flexão uso a expressão aproximada (padrão Shigley) para diâmetros em mm e carregamento por flexão:
- Fator de confiabilidade para
: (valor tabelado usado frequentemente).
Agora que as informações e hipóteses estão claras, sigo para os cálculos.
Passo 2
Cálculo do diâmetro mínimo para resistência estática (critério de von Mises com fator de segurança).
- Expressões das tensões nominais (antes do Kt):
- Aplico os fatores de concentração:
- Critério de von Mises (tensão equivalente):
A condição de projeto (para não escoar) com o fator de segurança
é:
- Coloco as expressões em função de
. É conveniente agrupar constantes:
defino
então
- Calculo numérico de
e (usar , ):
Observação: as unidades ficam tal que dividindo por
em
resulta em
.
- Calculo do termo dentro da raiz:
- Impor a condição
:
Logo
- Raiz cúbica:
Conclusão do passo: para o carregamento estático, o diâmetro mínimo calculado é
. Em projeto normalmente arredonda-se para cima (ex.:
).
Passo 3
Preparação para o caso de fadiga (vida infinita) — conceitos e fórmulas necessárias, e cálculo dos parâmetros de resistência à fadiga.
- Revisão conceitual (de forma curta e direta):
- Para fadiga, precisamos de um limite para tensões alternadas que o material suporta para vida infinita. Para aços comuns, uma aproximação inicial é
. - Esse valor é modificado por fatores (acabamento superficial, tamanho, confiabilidade, etc.):
- No problema temos usinagem (acabamento), diâmetro possivelmente grande (tamanho importa) e confiabilidade
(ke aplicável).
- Calculo do fator de acabamento superficial
(peça usinada):
Com
:
- Fator de confiabilidade
: para usa-se tabelas padrão; tomei o valor típico
- Fator de tamanho
(para flexão e 7{,}62 mm 250 mm), uso a expressão aproximada:
Note que
depende de
, então
também depende de
e o problema torna-se implícito (resolvido por iteração).
- Valor inicial
:
- Combino os fatores (exceto
que depende de ):
Portanto
Passo 4
Formulação do critério de Goodman para o caso combinado do enunciado e obtenção da equação a resolver.
- Definir tensões alternadas e médias no caso:
- O momento fletor é alternado: logo a tensão de flexão é alternada com componente média nula (
e amplitude ). - O torque é médio (constante): logo a componente média de cisalhamento
e a amplitude de cisalhamento .
- Tensões (já com Kt) em função de
:
com
já calculado em Passo 2:
.
com
.
- Tensões equivalentes para combinação (regra de von Mises para componentes alternadas e médias):
- Criterion de Goodman linear com fator de segurança
(uso para alternada e para média):
Substituindo as expressões:
Usando
(MPa) e
, e substituindo
e
, obtemos a inequação numérica:
onde calculei
já na constante: de fato
numericamente
(ver cálculo detalhado abaixo). Simplificando:
(essa forma foi obtida agrupando as constantes; os coeficientes numéricos são aproximados e têm as unidades apropriadas para que as expressões dêem tensões em MPa quando
está em mm).
Observação: a inequação acima é implícita em
(devido ao
em
), então resolvo por tentativa/iteração numérica.
Passo 5
Resolução numérica da inequação de Goodman (iteração/avaliação por tentativa) para encontrar
.
Vou avaliar o lado esquerdo para valores de
e buscar o menor
que satisfaça a condição.
Recordando a inequação numérica equivalente (apresentada no Passo 4):
Testes (avaliações aproximadas, mostrando cálculos importantes):
- Para
:
Soma
(muito maior que
). Logo
precisa aumentar.
-
Para
: Soma(ainda maior que ). -
Para
: Soma(agora menor que ). Logo a solução está entre 60 e 75 mm. -
Refinando entre 60 e 75:
-
: soma (ligeiramente acima de ). -
: soma (abaixo de ).
-
Interpole linearmente entre 65 e 66 mm para achar o ponto onde soma
:
Assim o diâmetro mínimo para satisfazer Goodman com as hipóteses adotadas é aproximadamente
Em projeto, para segurança e facilidade de fabricação, normalmente se arredonda para cima: por exemplo
.
Passo 6
Resumo dos resultados, indicação de arredondamentos práticos e comentários finais amigáveis.
-
Resultado estático (escolhido pelo critério de escoamento de von Mises com
): -
Resultado para fadiga com vida infinita (Goodman, torque médio, flexão alternada, fatores de acabamento e confiabilidade considerados):
Comentário prático e incentivo: a exigência de vida infinita e o grande fator de concentração (Ktf=2{,}75 e Ktt=2{,}33) aumentam muito o diâmetro requerido para fadiga. Se houver possibilidade de melhorar o acabamento, reduzir as concentrações de tensão (projeto dos mancais/entalhes), ou reduzir o fator de segurança em fadiga com justificativa, o diâmetro necessário pode cair bastante. Mas com os dados que você passou, o valor de fadiga é o controlador (maior que o estático), então adotar pelo menos
é a escolha segura.