Um eixo de aço foi fabricado por usinagem para ser utilizado em prensagem de grãos. Ele está submetido a um torque de 300 \mathrm{~N} . \mathrm{m} e um momento fletor de 425 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. Ele possui como propriedades \mathrm{S}_{\mathrm{u}}=560 \mathrm{MPa}, \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=420 \mathrm{MPa}, fator de segurança de 2,5 e confiabilidade de 90 \%. Para que o eixo não fique solto, os mancais possuem entalhes de raio 2,5 mm , cujos \mathrm{K}_{\mathrm{tf}}=2,75 e \mathrm{K}_{\mathrm{tt}}=2,33. Calcule:
a) O diâmetro mínimo para o eixo sob os carregamentos descritos estáticos.
b) O diâmetro mínimo para o eixo sob carregamentos flutuantes de forma que ele possua vida infinita. Considere que o torque dado é médio e o momento fletor é alternado. Utilize Goodman.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (valores que vou usar no cálculo) e o que se pede.
Dados do enunciado:
  • Torque constante (médio): T=300\\ \mathrm{N\cdot m}=300\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Momento fletor alternado: M=425\\ \mathrm{N\cdot m}=425\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Resistência última do aço: S_{u}=560\\ \mathrm{MPa}.
  • Resistência ao escoamento: S_{y}=420\\ \mathrm{MPa}.
  • Fator de segurança (informado): n=2{,}5.
  • Confiabilidade desejada: 90\% (vou usar fator de confiabilidade em fadiga).
  • Entalhes (mancais) com raio r=2{,}5\\ \mathrm{mm} e fatores de concentração:
    • fator para flexão: K_{tf}=2{,}75.
    • fator para torção: K_{tt}=2{,}33.
O que se pede:
a) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos estáticos (usar o critério adequado para escoamento com o fator de segurança dado).
b) Diâmetro mínimo do eixo para carregamentos flutuantes de forma que tenha vida infinita, considerando: torque dado como médio (constante) e momento fletor alternado; usar o critério de Goodman.
Observação (vou usar estas convenções/assunções, listadas agora para ficar transparente e aplicadas nos cálculos):
  • Para tensões nominais em eixo circular maciço: tensão de flexão nominal \sigma_b=\dfrac{32 M}{\pi d^{3}} e tensão de cisalhamento nominal \tau=\dfrac{16 T}{\pi d^{3}}, com d em \mathrm{mm} e M,T em \mathrm{N\cdot mm} — assim as tensões ficam em \mathrm{N/mm^{2}}=\mathrm{MPa}.
  • Aplico os fatores de concentração multiplicando as tensões nominais:
    • tensão de flexão máxima: \sigma_{b,\max}=K_{tf}\,\sigma_b.
    • tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=K_{tt}\,\tau.
  • Para projeto estático uso o critério de escoamento de von Mises (energia de distorção) combinado com o fator de segurança n: \sigma_{\text{vm}}\le S_y/n.
  • Para fadiga e vida infinita:
    • estimativa da resistência à fadiga (limite de resistência) inicial \;S_{e}'=0{,}5\,S_u (valor típico para aços com acabamento razoável).
    • levo em conta fatores de modificação: fator de acabamento superficial (ka), fator de tamanho (kb), e fator de confiabilidade (ke) para obter S_e = S_{e}'\cdot ka\cdot kb\cdot ke. Outros fatores (kc,kd,kf) assumidos iguais a 1 (condições ambientais e de carregamento típicas).
    • uso a forma combinada de tensões para fadiga: define-se tensão alternada equivalente \sigma_a'=\sqrt{\sigma_a^2+3\tau_a^2} e tensão média equivalente \sigma_m'=\sqrt{\sigma_m^2+3\tau_m^2}. No caso dado: flexão é alternada (momento alternado) e torque é médio (constante), logo \tau_a=0 e \sigma_m=0.
    • critério de Goodman linear (usando S_e para a parte alternada e S_u para a parte média) e mantendo o mesmo fator de segurança n: \frac{\sigma_a'}{S_e}+\frac{\sigma_m'}{S_u}\le\frac{1}{n}.
  • Vou usar a expressão empírica para o fator de acabamento superficial (para peça “usinada”): ka = a\;S_u^{\,b} com a=4{,}51 e b=-0{,}265 (valores padrão de Shigley).
  • Para o fator de tamanho em flexão uso a expressão aproximada (padrão Shigley) para diâmetros em mm e carregamento por flexão: kb = 0{,}879\;d^{-0{,}107}\quad(\text{para }7{,}62\\ \text{mm}<d<250\\ \text{mm}).
  • Fator de confiabilidade para 90\%: ke\approx0{,}897 (valor tabelado usado frequentemente).
Agora que as informações e hipóteses estão claras, sigo para os cálculos.

Passo 2

Cálculo do diâmetro mínimo para resistência estática (critério de von Mises com fator de segurança).
  1. Expressões das tensões nominais (antes do Kt):
\sigma_b = \frac{32\,M}{\pi d^{3}},\qquad \tau = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  1. Aplico os fatores de concentração:
\sigma_{b,\max}=K_{tf}\,\frac{32\,M}{\pi d^{3}}, \qquad \tau_{\max}=K_{tt}\,\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  1. Critério de von Mises (tensão equivalente):
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_{b,\max}^{2}+3\,\tau_{\max}^{2}}.
A condição de projeto (para não escoar) com o fator de segurança n é:
\sigma_{\text{vm}}\le \frac{S_y}{n}.
  1. Coloco as expressões em função de d. É conveniente agrupar constantes:
    defino
A = K_{tf}\,\frac{32\,M}{\pi},\qquad C = K_{tt}\,\frac{16\,T}{\pi},
então
\sigma_{\text{vm}}=\frac{1}{d^{3}}\sqrt{A^{2}+3C^{2}}.
  1. Calculo numérico de A e C (usar M=425\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}, T=300\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}):
A=K_{tf}\frac{32M}{\pi}=2{,}75\cdot\frac{32\cdot425\,000}{\pi} = \frac{37\,400\,000}{\pi}\approx 11\,904\,339\\ (\text{MPa}\cdot\mathrm{mm}^{3}).
C=K_{tt}\frac{16T}{\pi}=2{,}33\cdot\frac{16\cdot300\,000}{\pi} = \frac{11\,184\,000}{\pi}\approx 3\,559\,274\\ (\text{MPa}\cdot\mathrm{mm}^{3}).
Observação: as unidades ficam tal que dividindo por d^{3} em \mathrm{mm}^{3} resulta em \mathrm{MPa}.
  1. Calculo do termo dentro da raiz:
\sqrt{A^{2}+3C^{2}} = \sqrt{(11\,904\,339)^{2}+3\,(3\,559\,274)^{2}} \approx 13\,401\,400\\ (\text{MPa}\cdot\mathrm{mm}^{3}).
  1. Impor a condição \sigma_{\text{vm}}\le S_y/n:
\frac{13\,401\,400}{d^{3}}\le \frac{420}{2{,}5}=168\\ \mathrm{MPa}.
Logo
d^{3}\ge \frac{13\,401\,400}{168}\approx 79\,771{,}4\\ \mathrm{mm}^{3}.
  1. Raiz cúbica:
d\ge \sqrt[3]{79\,771{,}4}\approx 43{,}3\\ \mathrm{mm}.
Conclusão do passo: para o carregamento estático, o diâmetro mínimo calculado é d\approx 43{,}3\\ \mathrm{mm}. Em projeto normalmente arredonda-se para cima (ex.: 44\\ \mathrm{mm}).

Passo 3

Preparação para o caso de fadiga (vida infinita) — conceitos e fórmulas necessárias, e cálculo dos parâmetros de resistência à fadiga.
  1. Revisão conceitual (de forma curta e direta):
  • Para fadiga, precisamos de um limite para tensões alternadas que o material suporta para vida infinita. Para aços comuns, uma aproximação inicial é S_e' = 0{,}5\,S_u.
  • Esse valor é modificado por fatores (acabamento superficial, tamanho, confiabilidade, etc.):
S_e = S_e'\cdot ka\cdot kb\cdot ke \quad(\text{assumindo outros fatores}=1).
  • No problema temos usinagem (acabamento), diâmetro possivelmente grande (tamanho importa) e confiabilidade 90\% (ke aplicável).
  1. Calculo do fator de acabamento superficial ka (peça usinada):
ka = a\,S_u^{\,b},\quad a=4{,}51,\\ b=-0{,}265.
Com S_u=560\\ \mathrm{MPa}:
ka = 4{,}51\cdot(560)^{-0{,}265}\approx 0{,}841.
  1. Fator de confiabilidade ke: para 90\% usa-se tabelas padrão; tomei o valor típico
ke\approx 0{,}897.
  1. Fator de tamanho kb (para flexão e 7{,}62 mm <d<250 mm), uso a expressão aproximada:
kb = 0{,}879\;d^{-0{,}107}\quad(\text{com }d\\ \text{em mm}).
Note que kb depende de d, então S_e também depende de d e o problema torna-se implícito (resolvido por iteração).
  1. Valor inicial S_e':
S_e' = 0{,}5\,S_u = 0{,}5\cdot560 = 280\\ \mathrm{MPa}.
  1. Combino os fatores (exceto kb que depende de d):
S_{e0} = S_e'\cdot ka\cdot ke = 280\cdot 0{,}841\cdot 0{,}897 \approx 211{,}26\\ \mathrm{MPa}.
Portanto
S_{e}(d) = S_{e0}\cdot kb(d) = 211{,}26\cdot 0{,}879\;d^{-0{,}107}\approx 185{,}59\;d^{-0{,}107}\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Formulação do critério de Goodman para o caso combinado do enunciado e obtenção da equação a resolver.
  1. Definir tensões alternadas e médias no caso:
  • O momento fletor é alternado: logo a tensão de flexão é alternada com componente média nula ( \sigma_{m,\mathrm{b}}=0 e amplitude \sigma_{a,\mathrm{b}}=\sigma_{b,\max}).
  • O torque é médio (constante): logo a componente média de cisalhamento \tau_{m}=\tau_{\max} e a amplitude de cisalhamento \tau_a=0.
  1. Tensões (já com Kt) em função de d:
\sigma_a = \sigma_{b,\max} = K_{tf}\,\frac{32M}{\pi d^{3}} = \frac{A}{d^{3}},
com A já calculado em Passo 2: A\approx 11\,904\,339.
\tau_m = \tau_{\max} = K_{tt}\,\frac{16T}{\pi d^{3}} = \frac{C}{d^{3}},
com C\approx 3\,559\,274.
  1. Tensões equivalentes para combinação (regra de von Mises para componentes alternadas e médias):
\sigma_a'=\sqrt{\sigma_a^{2}+3\tau_a^{2}}=\sqrt{\sigma_a^{2}+0}=\sigma_a,
\sigma_m'=\sqrt{\sigma_m^{2}+3\tau_m^{2}}=\sqrt{0+3\tau_m^{2}}=\sqrt{3}\,\tau_m.
  1. Criterion de Goodman linear com fator de segurança n (uso S_e para alternada e S_u para média):
\frac{\sigma_a'}{S_e(d)}+\frac{\sigma_m'}{S_u}\le \frac{1}{n}.
Substituindo as expressões:
\frac{\dfrac{A}{d^{3}}}{S_e(d)}+\frac{\dfrac{\sqrt{3}\,C}{d^{3}}}{S_u}\le \frac{1}{n}.
Usando S_e(d)=185{,}59\,d^{-0{,}107} (MPa) e S_u=560\\ \mathrm{MPa}, e substituindo A e C, obtemos a inequação numérica:
\frac{11\,904\,339}{d^{3}}\cdot\frac{1}{185{,}59\,d^{-0{,}107}}+\frac{6\,164\,833}{d^{3}}\cdot\frac{1}{560}\le 0{,}4,
onde calculei \sqrt{3}\,C/\pi já na constante: de fato \sqrt{3}\,C = numericamente 6\,164\,833 (ver cálculo detalhado abaixo). Simplificando:
64\,143\;d^{-2{,}893}+11\,008{,}6\;d^{-3}\le 0{,}4.
(essa forma foi obtida agrupando as constantes; os coeficientes numéricos são aproximados e têm as unidades apropriadas para que as expressões dêem tensões em MPa quando d está em mm).
Observação: a inequação acima é implícita em d (devido ao d^{-0{,}107} em S_e), então resolvo por tentativa/iteração numérica.

Passo 5

Resolução numérica da inequação de Goodman (iteração/avaliação por tentativa) para encontrar d.
Vou avaliar o lado esquerdo para valores de d e buscar o menor d que satisfaça a condição.
Recordando a inequação numérica equivalente (apresentada no Passo 4):
F(d)\equiv 64\,143\;d^{-2{,}893}+11\,008{,}6\;d^{-3}\le 0{,}4.
Testes (avaliações aproximadas, mostrando cálculos importantes):
  • Para d=30\\ \mathrm{mm}: d^{-2{,}893}\approx 5{,}315\times10^{-5}\quad\Rightarrow\quad 64\,143\cdot d^{-2{,}893}\approx 3{,}409.
11\,008{,}6\cdot d^{-3}=11\,008{,}6/27\,000\approx 0{,}408.
Soma \approx 3{,}817 (muito maior que 0{,}4). Logo d precisa aumentar.
  • Para d=60\\ \mathrm{mm}:
    64\,143\;d^{-2{,}893}\approx 0{,}465,\qquad 11\,008{,}6\;d^{-3}\approx 0{,}051.
    Soma \approx 0{,}516 (ainda maior que 0{,}4).
  • Para d=75\\ \mathrm{mm}:
    64\,143\;d^{-2{,}893}\approx 0{,}241,\qquad 11\,008{,}6\;d^{-3}\approx 0{,}026.
    Soma \approx 0{,}267 (agora menor que 0{,}4). Logo a solução está entre 60 e 75 mm.
  • Refinando entre 60 e 75:
    • d=65\\ \mathrm{mm}: soma \approx 0{,}405 (ligeiramente acima de 0{,}4).
    • d=66\\ \mathrm{mm}: soma \approx 0{,}390 (abaixo de 0{,}4).
Interpole linearmente entre 65 e 66 mm para achar o ponto onde soma =0{,}4:
d\approx 65 + \frac{0{,}405-0{,}4}{0{,}405-0{,}390}\approx 65{,}33\\ \mathrm{mm}.
Assim o diâmetro mínimo para satisfazer Goodman com as hipóteses adotadas é aproximadamente
d\approx 65{,}3\\ \mathrm{mm}.
Em projeto, para segurança e facilidade de fabricação, normalmente se arredonda para cima: por exemplo d=66\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resumo dos resultados, indicação de arredondamentos práticos e comentários finais amigáveis.
  • Resultado estático (escolhido pelo critério de escoamento de von Mises com n=2{,}5):
    d_{\text{mín, estático}}\approx 43{,}3\\ \mathrm{mm}\quad(\text{arredonde para }44\\ \mathrm{mm}\\ \text{em projeto}).íá
  • Resultado para fadiga com vida infinita (Goodman, torque médio, flexão alternada, fatores de acabamento e confiabilidade considerados):
    d_{\text{mín, fadiga}}\approx 65{,}3\\ \mathrm{mm}\quad(\text{arredonde para }66\\ \mathrm{mm}\\ \text{em projeto}).í
Comentário prático e incentivo: a exigência de vida infinita e o grande fator de concentração (Ktf=2{,}75 e Ktt=2{,}33) aumentam muito o diâmetro requerido para fadiga. Se houver possibilidade de melhorar o acabamento, reduzir as concentrações de tensão (projeto dos mancais/entalhes), ou reduzir o fator de segurança em fadiga com justificativa, o diâmetro necessário pode cair bastante. Mas com os dados que você passou, o valor de fadiga é o controlador (maior que o estático), então adotar pelo menos d=66\\ \mathrm{mm} é a escolha segura.

Resposta

d_{\min,\text{estático}}=43{,}3\\ \mathrm{mm}á
d_{\min,\text{fadiga}}=65{,}3\\ \mathrm{mm}

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