As dimensões de um paralelepípedo são inversamente proporcionais a 6,4 \mathrm{e} 3. Determine-as, sabendo que a área total desse paralelepípedo é 208 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado diz que as arestas de um paralelepípedo medem x, y e z metros, sendo essas medidas inversamente proporcionais a 6, 4 e 3, respectivamente, e que a área total vale 208, m^{2}. O conteúdo é proporção inversa e cálculo de área total de paralelepípedo, cuja fórmula é
S = 2\bigl(xy + xz + yz\bigr).

Passo 2

Como x, y e z são inversamente proporcionais a 6, 4 e 3, podemos escrever
x = \frac{k}{6}, \quad y = \frac{k}{4}, \quad z = \frac{k}{3},
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Substituímos essas expressões na fórmula da área total:
S = 2\bigl(xy + xz + yz\bigr) = 2\Bigl(\frac{k}{6}\cdot\frac{k}{4} + \frac{k}{6}\cdot\frac{k}{3} + \frac{k}{4}\cdot\frac{k}{3}\Bigr).
Calculando cada produto:
\frac{k}{6}\cdot\frac{k}{4} = \frac{k^2}{24}, \quad \frac{k}{6}\cdot\frac{k}{3} = \frac{k^2}{18}, \quad \frac{k}{4}\cdot\frac{k}{3} = \frac{k^2}{12}.
Logo,
S = 2\Bigl(\frac{k^2}{24} + \frac{k^2}{18} + \frac{k^2}{12}\Bigr) = 2\Bigl(\frac{3+4+6}{72}k^2\Bigr) = 2\cdot\frac{13}{72}k^2 = \frac{13}{36}k^2.
Como S = 208, vem
\frac{13}{36}k^2 = 208 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 208\cdot\frac{36}{13} = 16\cdot36 = 576 \quad\Longrightarrow\quad k = 24.

Passo 4

Agora obtemos as arestas:
x = \frac{24}{6} = 4,\quad y = \frac{24}{4} = 6,\quad z = \frac{24}{3} = 8.

Resposta

As dimensões do paralelepípedo são 4 m, 6 m e 8 m.

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