Calcule o volume e a área total de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de 6 cm de perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base.

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área total de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 6\:\mathrm{cm} e cuja altura do prisma é o dobro da altura desse triângulo.
Para resolver, vamos usar:
  1. Área de um triângulo equilátero de lado a:
A_{\text{base}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
  1. Altura de um triângulo equilátero de lado a:
h_{\text{base}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
  1. Volume de prisma reto:
V = A_{\text{base}}\times H,
onde H é a altura do prisma.
4. Área total de prisma reto:
A_{\text{total}} = 2\,A_{\text{base}} + \text{Perímetro}_{\text{base}}\times H.í

Passo 2

Cada lado do triângulo vale
a = \frac{6}{3} = 2\:\mathrm{cm}.
A altura da base é
h_{\text{base}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\:\mathrm{cm},
e a área da base é
A_{\text{base}} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\:\mathrm{cm}^2.

Passo 3

A altura do prisma é o dobro de h_{\text{base}}, logo
H = 2\,h_{\text{base}} = 2\sqrt{3}\:\mathrm{cm}.

Passo 4

O volume do prisma é
V = A_{\text{base}}\times H = \sqrt{3}\times(2\sqrt{3}) = 2\cdot3 = 6\:\mathrm{cm}^3.

Passo 5

O perímetro da base é 6\:\mathrm{cm}, então a área lateral é
A_{\text{lateral}} = \text{Perímetro}_{\text{base}}\times H = 6 \times (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\:\mathrm{cm}^2.í
A área total do prisma é
A_{\text{total}} = 2\,A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 2\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 14\sqrt{3}\:\mathrm{cm}^2.

Resposta

Volume: 6\:\mathrm{cm}^3
Área total: 14\sqrt{3}\:\mathrm{cm}^2

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