Dinâmica de População de Verhulst (1838):
Considere
como a capacidade de carregamento da população. O modelo de Verhulst é dado pela e.d.o.:
Mostre que a e.d.o. (4) tem como solução:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial logística
onde
e
são constantes positivas. Pede-se mostrar que a solução com condição inicial
é
Lista das informações relevantes dadas:
- A equação diferencial é
. - A constante de integração será ajustada pela condição inicial
.
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Vamos separar variáveis para integrar. Primeiro escrevemos a equação de forma que todos os termos em
fiquem de um lado e o
do outro:
Esta técnica chama-se separação de variáveis: isolamos
multiplicado por uma função de
e
do outro lado, depois integramos ambos os lados.
Passo 3
Simplificamos a fração do lado esquerdo para facilitar a integração. Observe que
Portanto a integral fica
Passo 4
Fazemos decomposição em frações simples da função racional
. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes em
e termo constante conclui-se:
Logo
e
Passo 5
Agora integramos o lado esquerdo usando a decomposição encontrada:
Calcule as integrais separadamente:
(lembrando que
). Portanto a integral total é
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Combine os logaritmos num único logaritmo:
Exponenciando ambos os lados obtemos
onde
é uma constante positiva (assumindo
entre
e
para evitar sinais estranhos; o procedimento vale de modo análogo em outras regiões com valores abertos em valor absoluto).
Passo 7
Resolva a relação anterior para
. Multiplicando em cruz:
Reagrupando termos em
:
Assim
Dividindo numerador e denominador por
dá a forma mais usual
onde
.
Passo 8
Ajuste a constante usando a condição inicial
. Substituindo
em
temos
Substituindo
em
obtemos
Passo 9
Mostre que esta expressão é algebraicamente equivalente à forma pedida. Note que
Portanto
e assim a solução pode ser escrita como
que é exatamente a forma pedida no enunciado.