Dinâmica de População de Verhulst (1838):
Considere K como a capacidade de carregamento da população. O modelo de Verhulst é dado pela e.d.o.:
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right) ;
Mostre que a e.d.o. (4) tem como solução:
N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right) e^{-r t}} ;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial logística
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=r\,N\!\left(1-\frac{N}{K}\right),
onde r e K são constantes positivas. Pede-se mostrar que a solução com condição inicial N(0)=N_{0} é
N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t}}.
Lista das informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial é \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=rN\left(1-\dfrac{N}{K}\right).
  • A constante de integração será ajustada pela condição inicial N(0)=N_{0}.
    A partir daqui começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

Vamos separar variáveis para integrar. Primeiro escrevemos a equação de forma que todos os termos em N fiquem de um lado e o t do outro:
\frac{\mathrm{d}N}{N\left(1-\dfrac{N}{K}\right)}=r\,\mathrm{d}t.
Esta técnica chama-se separação de variáveis: isolamos \mathrm{d}N multiplicado por uma função de N e \mathrm{d}t do outro lado, depois integramos ambos os lados.

Passo 3

Simplificamos a fração do lado esquerdo para facilitar a integração. Observe que
\frac{1}{N\left(1-\dfrac{N}{K}\right)} = \frac{1}{N\left(\dfrac{K-N}{K}\right)} = \frac{K}{N(K-N)}.
Portanto a integral fica
\int \frac{K}{N(K-N)}\,\mathrm{d}N=\int r\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações simples da função racional \dfrac{K}{N(K-N)}. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{K}{N(K-N)}=\frac{A}{N}+\frac{B}{K-N}.
Multiplicando ambos os lados por N(K-N) obtemos
K = A(K-N)+B N = A K + (B-A)N.
Comparando coeficientes em N e termo constante conclui-se:
B-A=0\quad\Rightarrow\quad B=A, \qquad A K = K\quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo A=B=1 e
\frac{K}{N(K-N)}=\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}.

Passo 5

Agora integramos o lado esquerdo usando a decomposição encontrada:
\int\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)\mathrm{d}N = \int\frac{1}{N}\mathrm{d}N + \int\frac{1}{K-N}\mathrm{d}N.
Calcule as integrais separadamente:
\int\frac{1}{N}\mathrm{d}N=\ln|N|, \qquad \int\frac{1}{K-N}\mathrm{d}N=-\ln|K-N|
(lembrando que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}N}\ln|K-N| = -\dfrac{1}{K-N}). Portanto a integral total é
\ln|N| - \ln|K-N| = r t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Combine os logaritmos num único logaritmo:
\ln\!\left(\frac{N}{K-N}\right)=r t + C.
Exponenciando ambos os lados obtemos
\frac{N}{K-N}=C_{1}e^{r t},
onde C_{1}=e^{C} é uma constante positiva (assumindo N entre 0 e K para evitar sinais estranhos; o procedimento vale de modo análogo em outras regiões com valores abertos em valor absoluto).

Passo 7

Resolva a relação anterior para N. Multiplicando em cruz:
N = C_{1}e^{r t}(K-N).
Reagrupando termos em N:
N\bigl(1+C_{1}e^{r t}\bigr)=C_{1}K e^{r t}.
Assim
N(t)=\frac{C_{1}K e^{r t}}{1+C_{1}e^{r t}}.
Dividindo numerador e denominador por C_{1}e^{r t} dá a forma mais usual
N(t)=\frac{K}{1+C_{2}e^{-r t}},
onde C_{2}=\dfrac{1}{C_{1}}.

Passo 8

Ajuste a constante usando a condição inicial N(0)=N_{0}. Substituindo t=0 em \displaystyle N(0)=\frac{K}{1+C_{2}} temos
N_{0}=\frac{K}{1+C_{2}}\quad\Rightarrow\quad 1+C_{2}=\frac{K}{N_{0}}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{K}{N_{0}}-1=\frac{K-N_{0}}{N_{0}}.
Substituindo C_{2} em N(t)=\dfrac{K}{1+C_{2}e^{-r t}} obtemos
N(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K-N_{0}}{N_{0}}\right)e^{-r t}}.

Passo 9

Mostre que esta expressão é algebraicamente equivalente à forma pedida. Note que
\frac{K-N_{0}}{N_{0}}=\frac{K}{N_{0}}-1= -\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right).
Portanto
1+\left(\frac{K-N_{0}}{N_{0}}\right)e^{-r t} =1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t},
e assim a solução pode ser escrita como
N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t}},
que é exatamente a forma pedida no enunciado.

Resposta

N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t}}.

Exercícios relacionados