(2,0 ptos.) Mostre que o limite não existe.(sug. Use um caminho qualquer e depois o caminho geral). No caminho geral considere f^{\prime \prime}(0)=-1.
não existe. Informações dadas/observações iniciais:
A expressão é da forma \dfrac{0}{0} ao aproximar (x,y)\to(0,0), então pode depender do caminho.
A sugestão pede: primeiro usar um caminho qualquer e depois um caminho geral. No caminho geral devo considerar f''(0)=-1.
Objetivo: encontrar dois caminhos levando a valores diferentes do limite para concluir que o limite não existe.
Passo 2
Explicação do método (bem didática e sem mistério): se a função de duas variáveis tiver limites diferentes ao longo de duas curvas que chegam em (0,0), então o limite total não existe. Por isso vou:
Escolher um caminho simples (por exemplo y=0) e calcular o limite.
Escolher um caminho mais geral do tipo y=f(x) com desenvolvimento em série até ordem x^{2}, usando a hipótese f''(0)=-1, e escolher o coeficiente linear de f de modo a provocar um comportamento diferente (ou seja, fazer o primeiro termo do denominador anular-se), obter o limite nesse caminho e comparar com o primeiro resultado.
Passo 3
Caminho simples: y=0.
Substituindo y=0 na expressão:
Observação importante: se 6+3m=0 (ou seja, m=-2) a simplificação acima não é válida porque o denominador se anula no termo de ordem x; então casos com m\neq -2 dão limite 0, mas o caso m=-2 precisa ser tratado com mais cuidado (ou seja, precisamos incluir termos de ordem superior em y).
Passo 5
Caminho geral com desenvolvimento em série: y=f(x) com f(0)=0. Pelo desenvolvimento de Taylor perto de 0 temos
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}+o(x^{2})=m x + c x^{2}+o(x^{2}),
onde m=f'(0) e c=\dfrac{f''(0)}{2}. A hipótese do enunciado diz para considerar f''(0)=-1, portanto
c=\frac{f''(0)}{2}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Agora vamos usar esse desenvolvimento até ordem x^{2}.
Passo 6
Substituir y=f(x)=m x + c x^{2}+o(x^{2}) na fração e expandir até as ordens necessárias.
Calcular y^{2}:
y^{2}=(m x + c x^{2}+o(x^{2}))^{2}=m^{2}x^{2}+2m c x^{3}+o(x^{3}).
Numerador:
6x^{2}-3y^{2}=6x^{2}-3\big(m^{2}x^{2}+2m c x^{3}+o(x^{3})\big)=(6-3m^{2})x^{2}-6m c x^{3}+o(x^{3}).
Denominador:
6x+3y=6x+3(m x + c x^{2}+o(x^{2}))=(6+3m)x+3c x^{2}+o(x^{2}).
Agora analiso dois casos:
Caso m\neq -2 (ou seja, 6+3m\neq 0): O termo dominante do denominador é (6+3m)x, então