(2,0 ptos.) Mostre que o limite não existe.(sug. Use um caminho qualquer e depois o caminho geral). No caminho geral considere f^{\prime \prime}(0)=-1.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{6 x^{2}-3 y^{2}}{6 x+3 y}

Passo 1

O problema pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}
não existe. Informações dadas/observações iniciais:
  • A expressão é da forma \dfrac{0}{0} ao aproximar (x,y)\to(0,0), então pode depender do caminho.
  • A sugestão pede: primeiro usar um caminho qualquer e depois um caminho geral. No caminho geral devo considerar f''(0)=-1.
    Objetivo: encontrar dois caminhos levando a valores diferentes do limite para concluir que o limite não existe.

Passo 2

Explicação do método (bem didática e sem mistério): se a função de duas variáveis tiver limites diferentes ao longo de duas curvas que chegam em (0,0), então o limite total não existe. Por isso vou:
  1. Escolher um caminho simples (por exemplo y=0) e calcular o limite.
  2. Escolher um caminho mais geral do tipo y=f(x) com desenvolvimento em série até ordem x^{2}, usando a hipótese f''(0)=-1, e escolher o coeficiente linear de f de modo a provocar um comportamento diferente (ou seja, fazer o primeiro termo do denominador anular-se), obter o limite nesse caminho e comparar com o primeiro resultado.

Passo 3

Caminho simples: y=0.
Substituindo y=0 na expressão:
\frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}\Bigg|_{y=0}=\frac{6x^{2}-0}{6x+0}=\frac{6x^{2}}{6x}=x.
Ao fazermos x\to0 obtemos
\lim_{x\to0} x = 0.
Logo, ao longo do caminho y=0 o limite vale 0.

Passo 4

Caminho linear geral: y=mx (reta passando pela origem).
Substituindo y=mx na expressão:
\frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}=\frac{6x^{2}-3(m x)^{2}}{6x+3(m x)}=\frac{(6-3m^{2})x^{2}}{(6+3m)x}.
Simplificando (para x\neq0):
\frac{(6-3m^{2})x^{2}}{(6+3m)x}=x\cdot\frac{6-3m^{2}}{6+3m}.
Ao deixar x\to0 obtemos, para 6+3m\neq0,
\lim_{x\to0} x\cdot\frac{6-3m^{2}}{6+3m}=0.
Observação importante: se 6+3m=0 (ou seja, m=-2) a simplificação acima não é válida porque o denominador se anula no termo de ordem x; então casos com m\neq -2 dão limite 0, mas o caso m=-2 precisa ser tratado com mais cuidado (ou seja, precisamos incluir termos de ordem superior em y).

Passo 5

Caminho geral com desenvolvimento em série: y=f(x) com f(0)=0. Pelo desenvolvimento de Taylor perto de 0 temos
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}+o(x^{2})=m x + c x^{2}+o(x^{2}),
onde m=f'(0) e c=\dfrac{f''(0)}{2}. A hipótese do enunciado diz para considerar f''(0)=-1, portanto
c=\frac{f''(0)}{2}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Agora vamos usar esse desenvolvimento até ordem x^{2}.

Passo 6

Substituir y=f(x)=m x + c x^{2}+o(x^{2}) na fração e expandir até as ordens necessárias.
Calcular y^{2}:
y^{2}=(m x + c x^{2}+o(x^{2}))^{2}=m^{2}x^{2}+2m c x^{3}+o(x^{3}).
Numerador:
6x^{2}-3y^{2}=6x^{2}-3\big(m^{2}x^{2}+2m c x^{3}+o(x^{3})\big)=(6-3m^{2})x^{2}-6m c x^{3}+o(x^{3}).
Denominador:
6x+3y=6x+3(m x + c x^{2}+o(x^{2}))=(6+3m)x+3c x^{2}+o(x^{2}).
Agora analiso dois casos:
  • Caso m\neq -2 (ou seja, 6+3m\neq 0): O termo dominante do denominador é (6+3m)x, então
\frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}=\frac{(6-3m^{2})x^{2}+O(x^{3})}{(6+3m)x+O(x^{2})}=x\cdot\frac{6-3m^{2}}{6+3m}+O(x^{2}),
que tende a 0 quando x\to0. Isso concorda com o cálculo da reta y=mx.
  • Caso crítico m=-2: então 6+3m=6+3(-2)=0. Substituindo m=-2 nas expansões:
    Numerador:
(6-3m^{2})x^{2}-6m c x^{3} = (6-3\cdot 4)x^{2}-6(-2)c x^{3} = (6-12)x^{2}+12 c x^{3} = -6x^{2}+12c x^{3}+o(x^{3}).
Denominador:
(6+3m)x+3c x^{2}+o(x^{2}) = 0\cdot x + 3c x^{2}+o(x^{2}) = 3c x^{2}+o(x^{2}).
Assim, para m=-2 e x\neq0,
\frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}=\frac{-6x^{2}+12c x^{3}+o(x^{3})}{3c x^{2}+o(x^{2})}=\frac{-6+12c x+o(x)}{3c+o(1)}.
Tomando x\to0 obtemos o limite
\lim_{x\to0}\frac{6x^{2}-3y^{2}}{6x+3y}=\frac{-6}{3c}=-\frac{6}{3c}=-\frac{2}{c}.
Lembrando que c=\dfrac{f''(0)}{2}=-\tfrac{1}{2}, temos
-\frac{2}{c}=-\frac{2}{-1/2}=4.
Portanto, ao seguir um caminho y=f(x) com inclinação inicial m=-2 e com f''(0)=-1 (ou seja, y=-2x-\tfrac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})), o limite é 4.

Passo 7

Conclusão final por comparação de caminhos:
  • Pelo caminho y=0 o limite vale 0.
  • Pelo caminho y=-2x-\tfrac{1}{2}x^{2}+o(x^{2}) (que usa f''(0)=-1) o limite vale 4.
Como obtivemos dois valores diferentes ( 0 e 4 ) ao aproximar (0,0) por curvas diferentes, o limite bidimensional não existe.

Resposta

O limite não existe.

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