Assinale a única alternativa que representa uma curva que percorre a circunferência centrada na origem de raio 1 por três voltas completas no sentido anti-horário.
(A) \left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\\ y=\operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq 3 \pi\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\\ y=\operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq 6 \pi\right..
(C) \left\{\begin{array}{l}x=\cos (3 \theta) \\\ y=\operatorname{sen}(3 \theta)\end{array}, 0 \leq \theta \leq 6 \pi\right..
(D) \left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\\ y=3 \operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=\cos (3 \theta) \\\ y=-\operatorname{sen}(3 \theta)\end{array}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=\cos (3 \theta) \\\ y=-\operatorname{sen}(3 \theta)\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{l}x=\cos (3 \theta) \\\ y=\operatorname{sen}(3 \theta)\end{array}, 0 \leq \theta \leq 3 \pi\right..

Passo 1

O enunciado pede: identificar a única alternativa que representa uma curva que percorre a circunferência centrada na origem de raio (1) por \emph{três voltas completas} no sentido \emph{anti-horário}.
As alternativas dadas (resumi-as em forma matemática) são:
(A) \displaystyle x=\cos\theta,\; y=\operatorname{sen}\theta,\quad 0\le\theta\le 3\pi.
(B) \displaystyle x=\cos\theta,\; y=\operatorname{sen}\theta,\quad 0\le\theta\le 6\pi.
(C) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=\operatorname{sen}(3\theta),\quad 0\le\theta\le 6\pi.
(D) \displaystyle x=3\cos\theta,\; y=3\operatorname{sen}\theta,\quad 0\le\theta\le 2\pi.
(E) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=-\operatorname{sen}(3\theta),\quad 0\le\theta\le 2\pi.
(F) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=\operatorname{sen}(3\theta),\quad 0\le\theta\le 3\pi.
Informações relevantes dadas: queremos circunferência de raio (1), sentido anti-horário, e exatamente (3) voltas completas.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
  1. Parametrização padrão da circunferência de raio (1) e centro na origem: a família
x=\cos t,\qquad y=\sin t
traça a circunferência unitária. Aqui t é o parâmetro (ângulo polar) e cada aumento de t de \,2\pi corresponde a uma volta completa anti-horária. Explicando: quando t vai de 0 a 2\pi a posição (\cos t,\sin t) percorre todo o círculo uma vez no sentido anti-horário; se t aumenta mais, cada incremento de \,2\pi adiciona uma volta completa.
  1. Número de voltas (ou voltas completas) geradas por um parâmetro t variando de t_{\rm in} até t_{\rm fin} é
\text{nº voltas}=\dfrac{t_{\rm fin}-t_{\rm in}}{2\pi}.º
Exemplo rápido: se t vai de 0 a 6\pi, então \dfrac{6\pi-0}{2\pi}=3 voltas.
  1. Se a parametrização for da forma
x=\cos(k\theta),\qquad y=\sin(k\theta),
podemos definir t=k\theta. Então t varia de k\theta_{\rm in} até k\theta_{\rm fin} e o número de voltas é
\frac{k(\theta_{\rm fin}-\theta_{\rm in})}{2\pi}.
Exemplo rápido: se k=3 e \theta vai de 0 a 2\pi, então t vai de 0 a 6\pi e há 3 voltas.
  1. Sinal e orientação: a parametrização padrão (\cos t,\sin t) com t crescente dá sentido anti-horário. Se a componente y tem sinal trocado, por exemplo (\cos t,-\sin t), isso corresponde a uma reflexão em relação ao eixo x e inverte a orientação: o caminho será traçado no sentido horário quando t aumenta.
  2. Raio: se a parametrização é (a\cos t,a\sin t), o raio é |a|. Para raio unitário precisamos de a=1 (ou -1, mas o sinal -1 trocaria orientação além de mudar a posição).

Passo 3

Aplicando as regras acima a cada alternativa para verificar número de voltas, raio e sentido:
(A) \displaystyle x=\cos\theta,\; y=\operatorname{sen}\theta,\; 0\le\theta\le 3\pi.
  • Aqui o parâmetro é t=\theta. O incremento é t_{\rm fin}-t_{\rm in}=3\pi-0=3\pi.
  • Número de voltas: \dfrac{3\pi}{2\pi}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 voltas.
  • Raio: 1. Sentido: anti-horário (porque \sin sem sinal negativo).
  • Conclusão: percorre só 1{,}5 voltas, não 3. Portanto (A) está errada.
(B) \displaystyle x=\cos\theta,\; y=\operatorname{sen}\theta,\; 0\le\theta\le 6\pi.
  • Parâmetro t=\theta. Incremento 6\pi.
  • Número de voltas: \dfrac{6\pi}{2\pi}=3 voltas.
  • Raio: 1. Sentido: anti-horário.
  • Conclusão: satisfaz exatamente as três voltas anti-horário na circunferência unitária. (B) é candidata correta.
(C) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=\operatorname{sen}(3\theta),\; 0\le\theta\le 6\pi.
  • Defina t=3\theta. Então t vai de 0 até 3\cdot 6\pi=18\pi.
  • Número de voltas: \dfrac{18\pi}{2\pi}=9 voltas.
  • Raio: 1. Sentido: anti-horário.
  • Conclusão: dá 9 voltas, não 3. (C) está errada.
(D) \displaystyle x=3\cos\theta,\; y=3\operatorname{sen}\theta,\; 0\le\theta\le 2\pi.
  • Raio aqui é |3|=3, não 1. Independentemente do número de voltas (que é 1 para \theta indo de 0 a 2\pi), a curva não é a circunferência de raio 1.
  • Conclusão: (D) está errada.
(E) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=-\operatorname{sen}(3\theta),\; 0\le\theta\le 2\pi.
  • Defina t=3\theta. Então t vai de 0 a 6\pi, o que daria 3 voltas em termos de |t|.
  • Porém a parametrização real é (\cos t,-\sin t). O sinal negativo em \sin inverte a orientação: a curva será percorrida no sentido \emph{horário} quando t (ou \theta) aumenta.
  • Raio: 1.
  • Conclusão: faz 3 voltas, mas no sentido \emph{horário} — portanto não atende ao requisito “anti-horário”. (E) está errada por orientação.
(F) \displaystyle x=\cos(3\theta),\; y=\operatorname{sen}(3\theta),\; 0\le\theta\le 3\pi.
  • Defina t=3\theta. Então t vai de 0 a 3\cdot 3\pi=9\pi.
  • Número de voltas: \dfrac{9\pi}{2\pi}=\dfrac{9}{2}=4{,}5 voltas.
  • Raio: 1. Sentido: anti-horário.
  • Conclusão: dá 4{,}5 voltas, não 3. (F) está errada.

Passo 4

Resumo do que cada alternativa faz e por que só uma está correta:
  • (A): 1{,}5 voltas, anti-horário → errado.
  • (B): 3 voltas, raio 1, anti-horário → atende todos os requisitos.
  • (C): 9 voltas, anti-horário → errado.
  • (D): raio 3 → errado.
  • (E): 3 voltas mas em sentido horário → errado.
  • (F): 4{,}5 voltas → errado.
Portanto a única alternativa que descreve exatamente a circunferência de raio (1) percorrida por (3) voltas completas no sentido anti-horário é a alternativa (B).

Resposta

(B)

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