Assinale a única alternativa que representa uma curva que percorre a circunferência centrada na origem de raio 1 por três voltas completas no sentido anti-horário.
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(E)
(F)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado pede: identificar a única alternativa que representa uma curva que percorre a circunferência centrada na origem de raio
por \emph{três voltas completas} no sentido \emph{anti-horário}.
As alternativas dadas (resumi-as em forma matemática) são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Informações relevantes dadas: queremos circunferência de raio
, sentido anti-horário, e exatamente
voltas completas.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
- Parametrização padrão da circunferência de raio
e centro na origem: a família
traça a circunferência unitária. Aqui
é o parâmetro (ângulo polar) e cada aumento de
de
corresponde a uma volta completa anti-horária. Explicando: quando
vai de
a
a posição
percorre todo o círculo uma vez no sentido anti-horário; se
aumenta mais, cada incremento de
adiciona uma volta completa.
- Número de voltas (ou voltas completas) geradas por um parâmetro
variando de até é
Exemplo rápido: se
vai de
a
, então
voltas.
- Se a parametrização for da forma
podemos definir
. Então
varia de
até
e o número de voltas é
Exemplo rápido: se
e
vai de
a
, então
vai de
a
e há
voltas.
-
Sinal e orientação: a parametrização padrão
com crescente dá sentido anti-horário. Se a componente tem sinal trocado, por exemplo , isso corresponde a uma reflexão em relação ao eixo e inverte a orientação: o caminho será traçado no sentido horário quando aumenta. -
Raio: se a parametrização é
, o raio é . Para raio unitário precisamos de (ou , mas o sinal trocaria orientação além de mudar a posição).
Passo 3
Aplicando as regras acima a cada alternativa para verificar número de voltas, raio e sentido:
(A)
- Aqui o parâmetro é
. O incremento é . - Número de voltas:
voltas. - Raio:
. Sentido: anti-horário (porque sem sinal negativo). - Conclusão: percorre só
voltas, não . Portanto (A) está errada.
(B)
- Parâmetro
. Incremento . - Número de voltas:
voltas. - Raio:
. Sentido: anti-horário. - Conclusão: satisfaz exatamente as três voltas anti-horário na circunferência unitária. (B) é candidata correta.
(C)
- Defina
. Então vai de até . - Número de voltas:
voltas. - Raio:
. Sentido: anti-horário. - Conclusão: dá
voltas, não . (C) está errada.
(D)
- Raio aqui é
, não . Independentemente do número de voltas (que é para indo de a ), a curva não é a circunferência de raio . - Conclusão: (D) está errada.
(E)
- Defina
. Então vai de a , o que daria voltas em termos de . - Porém a parametrização real é
. O sinal negativo em inverte a orientação: a curva será percorrida no sentido \emph{horário} quando (ou ) aumenta. - Raio:
. - Conclusão: faz
voltas, mas no sentido \emph{horário} — portanto não atende ao requisito “anti-horário”. (E) está errada por orientação.
(F)
- Defina
. Então vai de a . - Número de voltas:
voltas. - Raio:
. Sentido: anti-horário. - Conclusão: dá
voltas, não . (F) está errada.
Passo 4
Resumo do que cada alternativa faz e por que só uma está correta:
- (A):
voltas, anti-horário → errado. - (B):
voltas, raio , anti-horário → atende todos os requisitos. - (C):
voltas, anti-horário → errado. - (D): raio
→ errado. - (E):
voltas mas em sentido horário → errado. - (F):
voltas → errado.
Portanto a única alternativa que descreve exatamente a circunferência de raio
percorrida por
voltas completas no sentido anti-horário é a alternativa (B).
Resposta
(B)