Um dipolo curto pelo qual circula uma corrente Io \cos (\omega \mathrm{t}) na direção \hat{\mathbf{a}}_{z} está posicionado na origem no espaço livre.
(a) Se k=1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, \mathrm{r}=2 \mathrm{~m}, \theta=45^{\circ}, \varphi=0 e \mathrm{t}=0, encontre o vetor unitário em componentes cartesianas que mostre a direção instantânea de \mathbf{E}.
(b) Qual fração da potência média total é irradiada na faixa 80^{\circ}<\theta<100^{\circ} ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá estes dados:
Um dipolo curto (Hertziano) no origem, alinhado com \hat{\mathbf{a}}_{z}, com corrente temporal I_0\cos(\omega t).
(a) Para \;k=1\\ \mathrm{rad/m},\\ r=2\\ \mathrm{m},\\ \theta=45^\circ,\\ \varphi=0,\\ t=0, encontre o vetor unitário (componentes cartesianas) que aponta a direção instantânea do campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto.
(b) Encontre a fração da potência média total irradiada no intervalo polar \;80^\circ<\theta<100^\circ.
Anotações úteis que já estão no enunciado: \;k r = 1\cdot 2 = 2\\ \mathrm{rad}.
Passo 2
Entender a direção do campo \mathbf{E} de um dipolo curto:
Em zona de radiação (campo à distância), o campo elétrico radiado por um dipolo curto alinhado em z tem apenas componente na direção \hat\theta. Ou seja
onde \hat\theta é o versor polar (direção decrescente de \theta).
Então a direção instantânea de \mathbf{E} é paralela a \hat\theta ou anti-paralela a \hat\theta, dependendo do sinal de E_\theta no instante considerado. Não esquecemos de verificar o sinal (fase) usando \cos(\omega t-kr).
Passo 3
Expressões dos versores esféricos em componentes cartesianas (fórmulas que precisamos):
\hat\varphi=-\sin\varphi\,\hat x+\cos\varphi\,\hat y.
(Isto é padrão: \hat\theta aponta para baixo no eixo polar, com componente negativa em z.)
Passo 4
Avaliação de \hat\theta no ponto pedido: \theta=45^\circ, \varphi=0.
\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Em \varphi=0 temos \cos\varphi=1,\\ \sin\varphi=0. Substituindo em \hat\theta:
\hat\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat y-\sin\theta\,\hat z =\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat x+0\cdot\hat y-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat z.
(Não precisamos do fator constante para a direção, só do sinal de \cos(\omega t-kr).)
No instante pedido t=0 e kr=2, obtemos
\cos(\omega t-kr)=\cos(-kr)=\cos(kr)=\cos(2).
Calculemos \cos(2) (ângulo em radianos): \cos(2)\approx -0{,}4161468. É negativo.
Passo 6
Concluir a direção instantânea do campo em (a):
Como \sin\theta>0 em \theta=45^\circ e \cos(\omega t-kr)=\cos(2)<0, o fator escalar frente a \hat\theta é negativo. Logo \mathbf{E} aponta na direção oposta a \hat\theta, ou seja em -\hat\theta.
Multiplicando \hat\theta por -1 obtemos o vetor unitário desejado:
Agora resolvemos (b): fração da potência média total irradiada em 80^\circ<\theta<100^\circ.
Padrão angular (intensidade) de um dipolo curto: a intensidade média por unidade de ângulo sólido (radiation intensity) é proporcional a \sin^2\theta. Ou seja existe uma constante C tal que
U(\theta)=C\sin^2\theta.
(Explicação rápida: U(\theta)=\dfrac{r^2}{2\eta}|E_\theta|^2 e como |E_\theta|\propto \sin\theta/r chega-se a U\propto\sin^2\theta. Como só queremos fração, a constante cancela.)
Em 0 a \pi a integral vale \displaystyle\left[-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^\pi=\frac{4}{3}.
Assim P_{\text{tot}}=2\pi C\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi C}{3}. Podemos isolar C=\dfrac{3P_{\text{tot}}}{8\pi}, mas não precisamos do valor explícito para a fração.
Passo 9
Fração de potência no intervalo \theta_1=80^\circ até \theta_2=100^\circ: