Um dipolo curto pelo qual circula uma corrente Io \cos (\omega \mathrm{t}) na direção \hat{\mathbf{a}}_{z} está posicionado na origem no espaço livre.
(a) Se k=1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, \mathrm{r}=2 \mathrm{~m}, \theta=45^{\circ}, \varphi=0 e \mathrm{t}=0, encontre o vetor unitário em componentes cartesianas que mostre a direção instantânea de \mathbf{E}.
(b) Qual fração da potência média total é irradiada na faixa 80^{\circ}<\theta<100^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá estes dados:
  • Um dipolo curto (Hertziano) no origem, alinhado com \hat{\mathbf{a}}_{z}, com corrente temporal I_0\cos(\omega t).
  • (a) Para \;k=1\\ \mathrm{rad/m},\\ r=2\\ \mathrm{m},\\ \theta=45^\circ,\\ \varphi=0,\\ t=0, encontre o vetor unitário (componentes cartesianas) que aponta a direção instantânea do campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto.
  • (b) Encontre a fração da potência média total irradiada no intervalo polar \;80^\circ<\theta<100^\circ.
    Anotações úteis que já estão no enunciado: \;k r = 1\cdot 2 = 2\\ \mathrm{rad}.

Passo 2

Entender a direção do campo \mathbf{E} de um dipolo curto:
  • Em zona de radiação (campo à distância), o campo elétrico radiado por um dipolo curto alinhado em z tem apenas componente na direção \hat\theta. Ou seja
\mathbf{E}(r,\theta,t)=E_\theta(r,\theta,t)\,\hat\theta,
onde \hat\theta é o versor polar (direção decrescente de \theta).
  • Então a direção instantânea de \mathbf{E} é paralela a \hat\theta ou anti-paralela a \hat\theta, dependendo do sinal de E_\theta no instante considerado. Não esquecemos de verificar o sinal (fase) usando \cos(\omega t-kr).

Passo 3

Expressões dos versores esféricos em componentes cartesianas (fórmulas que precisamos):
\hat r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat x+\sin\theta\sin\varphi\,\hat y+\cos\theta\,\hat z,
\hat\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat y-\sin\theta\,\hat z,
\hat\varphi=-\sin\varphi\,\hat x+\cos\varphi\,\hat y.
(Isto é padrão: \hat\theta aponta para baixo no eixo polar, com componente negativa em z.)

Passo 4

Avaliação de \hat\theta no ponto pedido: \theta=45^\circ, \varphi=0.
  • \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Em \varphi=0 temos \cos\varphi=1,\\ \sin\varphi=0. Substituindo em \hat\theta:
\hat\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat y-\sin\theta\,\hat z =\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat x+0\cdot\hat y-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat z.
Portanto
\hat\theta=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\;0,\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
em componentes (\hat x,\hat y,\hat z).

Passo 5

Determinar o sinal (paralela ou anti-paralela) examinando o fator temporal/fase:
  • A amplitude temporal do campo \hat\theta na zona de radiação (forma real) tem a dependência \cos(\omega t-kr). Assim
E_\theta(r,\theta,t)\propto \sin\theta\cos(\omega t-kr).
(Não precisamos do fator constante para a direção, só do sinal de \cos(\omega t-kr).)
  • No instante pedido t=0 e kr=2, obtemos
\cos(\omega t-kr)=\cos(-kr)=\cos(kr)=\cos(2).
  • Calculemos \cos(2) (ângulo em radianos): \cos(2)\approx -0{,}4161468. É negativo.

Passo 6

Concluir a direção instantânea do campo em (a):
  • Como \sin\theta>0 em \theta=45^\circ e \cos(\omega t-kr)=\cos(2)<0, o fator escalar frente a \hat\theta é negativo. Logo \mathbf{E} aponta na direção oposta a \hat\theta, ou seja em -\hat\theta.
  • Multiplicando \hat\theta por -1 obtemos o vetor unitário desejado:
-\hat\theta=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\;0,\;\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 7

Agora resolvemos (b): fração da potência média total irradiada em 80^\circ<\theta<100^\circ.
  • Padrão angular (intensidade) de um dipolo curto: a intensidade média por unidade de ângulo sólido (radiation intensity) é proporcional a \sin^2\theta. Ou seja existe uma constante C tal que
U(\theta)=C\sin^2\theta.
(Explicação rápida: U(\theta)=\dfrac{r^2}{2\eta}|E_\theta|^2 e como |E_\theta|\propto \sin\theta/r chega-se a U\propto\sin^2\theta. Como só queremos fração, a constante cancela.)
  • A potência total média é
P_{\text{tot}}=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} U(\theta)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =2\pi C\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.

Passo 8

Avaliação da integral \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta:
  • Use substituição u=\cos\theta,\\ du=-\sin\theta\,d\theta:
\int\sin^3\theta\,d\theta=\int\sin\theta(1-\cos^2\theta)\,d\theta =-\int(1-u^2)\,du=-u+\frac{u^3}{3}+C,
isto é
\int\sin^3\theta\,d\theta=-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}+C.
  • Em 0 a \pi a integral vale \displaystyle\left[-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^\pi=\frac{4}{3}.
  • Assim P_{\text{tot}}=2\pi C\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi C}{3}. Podemos isolar C=\dfrac{3P_{\text{tot}}}{8\pi}, mas não precisamos do valor explícito para a fração.

Passo 9

Fração de potência no intervalo \theta_1=80^\circ até \theta_2=100^\circ:
\text{fração}=\frac{1}{P_{\text{tot}}}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{\theta_1}^{\theta_2} U(\theta)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\frac{2\pi C}{P_{\text{tot}}}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin^3\theta\,d\theta.çã
Substituindo C=\dfrac{3P_{\text{tot}}}{8\pi} resulta
\text{fração}=\frac{3}{4}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin^3\theta\,d\theta.çã
Usamos a primitiva já obtida:
\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin^3\theta\,d\theta=\left[-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_{\theta_1}^{\theta_2}.

Passo 10

Avaliação numérica para \theta_1=80^\circ,\\ \theta_2=100^\circ:
  • Observe que \cos 80^\circ\approx 0{,}1736481777 e \cos 100^\circ=-\cos 80^\circ\approx -0{,}1736481777.
  • Calcule a integral:
\int_{80^\circ}^{100^\circ}\sin^3\theta\,d\theta = \bigl(-\cos\theta+\tfrac{1}{3}\cos^3\theta\bigr)\Big|_{80^\circ}^{100^\circ} =2\cos 80^\circ\left(1-\frac{\cos^2 80^\circ}{3}\right).
  • Numericamente, com \cos 80^\circ\approx 0{,}1736481777,
\int_{80^\circ}^{100^\circ}\sin^3\theta\,d\theta\approx 0{,}343805624.
  • Então a fração vale
\text{fração}=\frac{3}{4}\times 0{,}343805624\approx 0{,}257854218,çã
ou seja cerca de 25{,}79\%.

Resposta

\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;0,\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
\;0{,}25785\\ (\approx 25{,}79\%)

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