Uma esfera oca, de raio interno
e raio externo
, flutua com metade do volume submerso em um líquido de densidade
. A densidade da esfera é dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma esfera oca com raio interno
e raio externo
. Ela flutua em um líquido de densidade
com metade do seu volume submerso. A pergunta é: qual é a densidade da esfera (a densidade do material que forma a casca da esfera)?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que devemos encontrar: a densidade da esfera (vou chamar de
) em função de
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo
que age sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo:
onde
é a densidade do fluido,
é o volume do fluido deslocado (ou seja, o volume do corpo que está submerso) e
é a aceleração da gravidade. Explicando as variáveis:
em
,
em
e
em
. Na situação de flutuação em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo:
Passo 3
Expressando o peso do corpo: a massa do corpo é a densidade do material da casca
multiplicada pelo volume do material (volume da casca), que é a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna:
com
A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Portanto:
e
Passo 4
Aplicando a condição de equilíbrio de flutuação: empuxo = peso do corpo. Como o enunciado diz que metade do volume está submerso, o volume submerso
é metade do volume externo (volume total “externo” da esfera), então
Escrevendo a igualdade:
Cancelamos
dos dois lados e substituímos
:
Isolando
:
Passo 5
Agora calculamos os volumes usando
e
.
Volume externo:
Volume da casca:
Passo 6
Substituímos os volumes na expressão para
:
Simplificando frações e cancelando
:
Continuando a simplificação:
Passo 7
Conclusão e checagem rápida:
. Faz sentido físico: a densidade da casca é menor que a densidade do líquido (pois
), então a esfera flutua, e o cálculo levou em conta que metade do volume externo está submerso e que a massa está somente no material da casca.