Uma esfera oca, de raio interno R_{1}=R e raio externo R_{2}=2 R, flutua com metade do volume submerso em um líquido de densidade \rho. A densidade da esfera é dada por:
a) \frac{4}{7} \rho
b) \frac{2}{7} \rho
c) \frac{5}{7} \rho
d) \frac{4}{3} \rho
e) \frac{5}{3} \rho

Passo 1

O enunciado dá uma esfera oca com raio interno R_{1}=R e raio externo R_{2}=2R. Ela flutua em um líquido de densidade \rho com metade do seu volume submerso. A pergunta é: qual é a densidade da esfera (a densidade do material que forma a casca da esfera)?\n
Informações relevantes fornecidas:
R_{1}=R,\qquad R_{2}=2R,\qquad \text{fração submersa}= \tfrac{1}{2},\qquad \text{densidade do líquido}= \rho.çãí
O que devemos encontrar: a densidade da esfera (vou chamar de \rho_{s}) em função de \rho.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo F_{\text{emp}} que age sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo:
F_{\text{emp}}=\rho \, V_{\text{sub}} \, g,
onde \rho é a densidade do fluido, V_{\text{sub}} é o volume do fluido deslocado (ou seja, o volume do corpo que está submerso) e g é a aceleração da gravidade. Explicando as variáveis: \rho em \mathrm{kg/m^3}, V_{\text{sub}} em \mathrm{m^3} e g em \mathrm{m/s^2}. Na situação de flutuação em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo:
F_{\text{emp}} = \text{peso do corpo} = m_{\text{corpo}}\, g.

Passo 3

Expressando o peso do corpo: a massa do corpo é a densidade do material da casca \rho_{s} multiplicada pelo volume do material (volume da casca), que é a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna:
m_{\text{corpo}} = \rho_{s}\, V_{\text{casca}},
com
V_{\text{casca}} = V_{\text{externa}} - V_{\text{interna}}.
A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}} = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
Portanto:
V_{\text{externa}}=\tfrac{4}{3}\pi R_{2}^{3},\qquad V_{\text{interna}}=\tfrac{4}{3}\pi R_{1}^{3},
e
V_{\text{casca}}=\tfrac{4}{3}\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3}).

Passo 4

Aplicando a condição de equilíbrio de flutuação: empuxo = peso do corpo. Como o enunciado diz que metade do volume está submerso, o volume submerso V_{\text{sub}} é metade do volume externo (volume total “externo” da esfera), então
V_{\text{sub}}=\tfrac{1}{2}V_{\text{externa}}.
Escrevendo a igualdade:
\rho\, V_{\text{sub}}\, g = \rho_{s}\, V_{\text{casca}}\, g.
Cancelamos g dos dois lados e substituímos V_{\text{sub}}=\tfrac{1}{2}V_{\text{externa}}:
\rho\cdot \tfrac{1}{2}V_{\text{externa}} = \rho_{s}\, V_{\text{casca}}.
Isolando \rho_{s}:
\rho_{s} = \frac{\rho}{2}\cdot\frac{V_{\text{externa}}}{V_{\text{casca}}}.

Passo 5

Agora calculamos os volumes usando R_{1}=R e R_{2}=2R.
Volume externo:
V_{\text{externa}}=\tfrac{4}{3}\pi R_{2}^{3}=\tfrac{4}{3}\pi (2R)^{3}=\tfrac{4}{3}\pi \cdot 8R^{3}=\tfrac{32}{3}\pi R^{3}.
Volume da casca:
V_{\text{casca}}=\tfrac{4}{3}\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})=\tfrac{4}{3}\pi \big((2R)^{3}-R^{3}\big) =\tfrac{4}{3}\pi (8R^{3}-R^{3})=\tfrac{4}{3}\pi \cdot 7R^{3}=\tfrac{28}{3}\pi R^{3}.

Passo 6

Substituímos os volumes na expressão para \rho_{s}:
\rho_{s} = \frac{\rho}{2}\cdot\frac{V_{\text{externa}}}{V_{\text{casca}}} = \frac{\rho}{2}\cdot\frac{\tfrac{32}{3}\pi R^{3}}{\tfrac{28}{3}\pi R^{3}}.
Simplificando frações e cancelando \tfrac{1}{3}\pi R^{3}:
\rho_{s} = \frac{\rho}{2}\cdot\frac{32}{28} = \frac{\rho}{2}\cdot\frac{8}{7}.
Continuando a simplificação:
\rho_{s} = \rho\cdot\frac{8}{14} = \rho\cdot\frac{4}{7}.

Passo 7

Conclusão e checagem rápida: \rho_{s}=\tfrac{4}{7}\rho. Faz sentido físico: a densidade da casca é menor que a densidade do líquido (pois \tfrac{4}{7}<1), então a esfera flutua, e o cálculo levou em conta que metade do volume externo está submerso e que a massa está somente no material da casca.

Resposta

\tfrac{4}{7}\rho

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