Uma onda plana uniforme no espaço livre incide normalmente em uma placa de dielétrico denso de espessura \lambda / 4, com índice de refração n. Determine o valor requerido para n com o qual exatamente metade da potência incidente é refletida (e metade transmitida). Lembre-se que \mathrm{n}>1.
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana incidente normalmente (isto é, ângulo de incidência zero) vindO do espaço livre sobre uma placa dielétrica de índice de refração \,n>1, e de espessura \,\lambda/4. Pede-se determinar o valor de \,n, tal que exatamente metade da potência incidente seja refletida e metade transmitida (ou seja, reflectância R=1/2).\n
Informações relevantes fornecidas:
Meio de incidência: espaço livre com índice \,n_0=1.
Placa dielétrica com índice \,n>1.
Espessura da placa: \,\lambda/4 (vamos explicar abaixo a interpretação utilizada).
Incidência normal (sem dependência angular).
Objetivo: achar \,n tal que a fração de potência refletida seja 1/2.
Passo 2
Interpretação da espessura e escolha do método (explico como escolhi): quando se diz "espessura \lambda/4" em problemas de filmes finos costuma-se entender que a espessura corresponde a um quarto de comprimento de onda no próprio filme (ou seja, espessura óptica de um quarto de onda). Isso garante que a fase acumulada numa travessia simples seja \pi/2, o que é a condição habitual de um “quarter-wave” e simplifica muito a conta. Vou então assumir que a fase de uma passagem única na placa é
\varphi=\frac{2\pi n d}{\lambda_0}=\frac{\pi}{2},
o que implica que a espessura física satisfaz d=\lambda_0/(4n). (Se a interpretação fosse outra, a dependência de \,n seria diferente; esta interpretação é a padrão para "plaqueta \lambda/4").\n
Método escolhido: calcular o coeficiente de reflexão complexo total da placa somando as ondas refletidas nas superfícies (ou usando a forma fechada para filme fino), obter a reflectância R=|r|^2, impor R=1/2 e resolver para n.
Passo 3
Coeficientes de Fresnel para incidência normal (fórmula e significado). Para ondas ao nível de amplitude, o coeficiente de reflexão na interface entre meio 1 (índice n_1) e meio 2 (índice n_2) é
r_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},
onde r_{12} é a razão entre amplitude refletida e amplitude incidente (sinal negativo indica mudança de fase \pi). No nosso caso o meio 0 é o espaço livre (n_0=1) e o filme tem índice n. Assim:
Observe que r_{12}=-r_{01}. Isso faz sentido físico: a reflexão na face da frente (ar \to filme) para n>1 inverte a fase (coeficiente negativo), enquanto a reflexão na face de saída (filme \to ar) não inverte a fase (coeficiente positivo).
Passo 4
Expressão do coeficiente de reflexão total do filme fino. Somando as contribuições infinitas das reflexões internas (cada trajetória acumulando fase de ida e volta 2\varphi) obtemos a forma padrão
Aqui \varphi é a fase de uma única travessia do filme, dada por \varphi=\dfrac{2\pi n d}{\lambda_0}. Explico rapidamente a lógica: a primeira reflexão é r_{01}; a segunda contribuição que volta à esquerda vem depois de transmitir para dentro, refletir na segunda superfície (fator r_{12}) e transmitir de volta, acumulando a fase de ida e volta e^{-i2\varphi}. As sucessivas múltiplas reflexões produzem uma série geométrica que resulta na forma acima.
Passo 5
Aplicando a condição quarter-wave: com a interpretação escolhida temos \varphi=\pi/2. Então
e^{-i2\varphi}=e^{-i\pi}=-1.
Além disso, como vimos r_{12}=-r_{01}. Substituindo na fórmula de r_{\text{total}},