Uma onda plana uniforme no espaço livre incide normalmente em uma placa de dielétrico denso de espessura \lambda / 4, com índice de refração n. Determine o valor requerido para n com o qual exatamente metade da potência incidente é refletida (e metade transmitida). Lembre-se que \mathrm{n}>1.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana incidente normalmente (isto é, ângulo de incidência zero) vindO do espaço livre sobre uma placa dielétrica de índice de refração \,n>1, e de espessura \,\lambda/4. Pede-se determinar o valor de \,n, tal que exatamente metade da potência incidente seja refletida e metade transmitida (ou seja, reflectância R=1/2).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Meio de incidência: espaço livre com índice \,n_0=1.
  • Placa dielétrica com índice \,n>1.
  • Espessura da placa: \,\lambda/4 (vamos explicar abaixo a interpretação utilizada).
  • Incidência normal (sem dependência angular).
  • Objetivo: achar \,n tal que a fração de potência refletida seja 1/2.

Passo 2

Interpretação da espessura e escolha do método (explico como escolhi): quando se diz "espessura \lambda/4" em problemas de filmes finos costuma-se entender que a espessura corresponde a um quarto de comprimento de onda no próprio filme (ou seja, espessura óptica de um quarto de onda). Isso garante que a fase acumulada numa travessia simples seja \pi/2, o que é a condição habitual de um “quarter-wave” e simplifica muito a conta. Vou então assumir que a fase de uma passagem única na placa é
\varphi=\frac{2\pi n d}{\lambda_0}=\frac{\pi}{2},
o que implica que a espessura física satisfaz d=\lambda_0/(4n). (Se a interpretação fosse outra, a dependência de \,n seria diferente; esta interpretação é a padrão para "plaqueta \lambda/4").\n
Método escolhido: calcular o coeficiente de reflexão complexo total da placa somando as ondas refletidas nas superfícies (ou usando a forma fechada para filme fino), obter a reflectância R=|r|^2, impor R=1/2 e resolver para n.

Passo 3

Coeficientes de Fresnel para incidência normal (fórmula e significado). Para ondas ao nível de amplitude, o coeficiente de reflexão na interface entre meio 1 (índice n_1) e meio 2 (índice n_2) é
r_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},
onde r_{12} é a razão entre amplitude refletida e amplitude incidente (sinal negativo indica mudança de fase \pi). No nosso caso o meio 0 é o espaço livre ( n_0=1) e o filme tem índice n. Assim:
r_{01}=\frac{1-n}{1+n},\qquad r_{12}=\frac{n-1}{n+1}.
Observe que r_{12}=-r_{01}. Isso faz sentido físico: a reflexão na face da frente (ar \to filme) para n>1 inverte a fase (coeficiente negativo), enquanto a reflexão na face de saída (filme \to ar) não inverte a fase (coeficiente positivo).

Passo 4

Expressão do coeficiente de reflexão total do filme fino. Somando as contribuições infinitas das reflexões internas (cada trajetória acumulando fase de ida e volta 2\varphi) obtemos a forma padrão
r_{\text{total}}=\frac{r_{01}+r_{12}e^{-i2\varphi}}{1+r_{01}r_{12}e^{-i2\varphi}}.
Aqui \varphi é a fase de uma única travessia do filme, dada por \varphi=\dfrac{2\pi n d}{\lambda_0}. Explico rapidamente a lógica: a primeira reflexão é r_{01}; a segunda contribuição que volta à esquerda vem depois de transmitir para dentro, refletir na segunda superfície (fator r_{12}) e transmitir de volta, acumulando a fase de ida e volta e^{-i2\varphi}. As sucessivas múltiplas reflexões produzem uma série geométrica que resulta na forma acima.

Passo 5

Aplicando a condição quarter-wave: com a interpretação escolhida temos \varphi=\pi/2. Então
e^{-i2\varphi}=e^{-i\pi}=-1.
Além disso, como vimos r_{12}=-r_{01}. Substituindo na fórmula de r_{\text{total}},
r_{\text{total}}=\frac{r_{01}+(-r_{01})(-1)}{1+r_{01}(-r_{01})(-1)} =\frac{r_{01}+r_{01}}{1+r_{01}^2} =\frac{2r_{01}}{1+r_{01}^2}.
Portanto a amplitude total refletida é real (para este caso) e igual a \dfrac{2r_{01}}{1+r_{01}^2}.

Passo 6

Passando para potência: a reflectância (fração de potência refletida) é o quadrado do módulo da amplitude:
R=\left|\frac{2r_{01}}{1+r_{01}^2}\right|^2=\frac{4r_{01}^2}{(1+r_{01}^2)^2}.
Queremos R=\tfrac{1}{2}. Ponha x=r_{01}^2 (note que 0\le x<1 pois |r_{01}|<1 para índices reais positivos). A equação fica
\frac{4x}{(1+x)^2}=\frac{1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por (1+x)^2 e rearranjando:
8x=(1+x)^2=1+2x+x^2 \quad\Rightarrow\quad x^2-6x+1=0.
Resolva a quadrática:
x=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}.
Como x tem de estar entre 0 e 1, escolhemos
x=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2.

Passo 7

Voltando a r_{01}: temos |r_{01}|=\sqrt{x}=\sqrt{2}-1. Mas r_{01}=(1-n)/(1+n) é negativo para n>1, então
r_{01}=-(\sqrt{2}-1).
Agora resolvemos para n:
\frac{1-n}{1+n}=-(\sqrt{2}-1).
Multiplique ambos os lados por (1+n):
1-n=-(\sqrt{2}-1)(1+n).
Desenvolvendo o lado direito:
1-n=-(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}-1)n.
Agrupando termos com n do mesmo lado:
1+(\sqrt{2}-1) = n\big(1-(\sqrt{2}-1)\big).
O lado esquerdo simplifica para \sqrt{2} e o fator do n no parêntese é 1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}. Assim
n=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt{2}) obtemos
n=1+\sqrt{2}.

Resposta

\;n=1+\sqrt{2}

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