Questão 8.
5.23 Dado que
a,
, determine: (a) a corrente que passa através da superfície
; (b) a densidade de carga
nessa superfícic.
Passo 1
O enunciado (como eu o recebi) dá a densidade de corrente elétrica dependente de
e
e pede duas coisas: (a) a corrente que atravessa a superfície
; (b) a densidade de carga
nessa superfície. Os dados fornecidos (interpretei e organizei) são:
com
(ou seja
) e queremos a superfície em
.
Observação: o enunciado original contém um expoente escrito como ; para poder resolver de forma consistente escolhi representar a constante de decaimento por
(em s
) e, mais adiante, avaliarei numericamente com a escolha
. Se você tiver um valor diferente para esse expoente, é só substituir
pelo valor correto nas fórmulas abaixo.
Observação: o enunciado original contém um expoente escrito como
Passo 2
Primeiro vamos calcular a corrente total que atravessa a superfície esférica de raio
. Explico a ideia física e a fórmula usada: a corrente que atravessa uma superfície fechada é a integral da componente normal da densidade de corrente sobre a área,
Para uma esfera de raio
o elemento de área vetorial é
onde
e
são os ângulos esféricos. Aqui
é o versor radial e
é puramente radial, então
.
Passo 3
Calculemos a integral de superfície explicitamente. Usamos
. Assim,
As integrais angulares valem
portanto o fator angular é
. Logo
Passo 4
Substituindo
obtemos a expressão fechada da corrente:
Para
isso dá
Agora vamos avaliar numericamente em
. Usando a escolha
(veja nota no Passo 1) temos
. Assim
Vamos fazer as contas passo a passo:
e
. Multiplicando,
Portanto a corrente que atravessa a superfície
no instante dado é aproximadamente
(com
).
Passo 5
Agora vamos encontrar a densidade de carga volumétrica
. A equação de continuidade relaciona divergência de
com a variação temporal da densidade de carga:
Vou explicar como calcular
para um campo puramente radial em coordenadas esféricas. Para
vale a fórmula
Substituímos
. Então
Derivando em relação a
:
Portanto
Passo 6
Aplicando a equação de continuidade:
Integramos com respeito ao tempo:
Aqui
é uma função de
que aparece por causa da integração no tempo (é a condição inicial em cada ponto espacial). Normalmente, quando o enunciado não fornece uma condição inicial, é comum assumir que o meio estava inicialmente neutro:
. Usando essa condição,
logo
. Assim
Passo 7
Agora avaliamos
na superfície
, no instante
, novamente com
. Calculamos o fator:
Temos
, então
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes,