Questão 8.

5.23 Dado que \mathrm{J}=\frac{5 e^{-10^{\circ} t}}{r} a, \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{~cm} t=0,1 \mathrm{~ms}, determine: (a) a corrente que passa através da superfície r=2 \mathrm{~m}; (b) a densidade de carga \rho_{y} nessa superfícic.

Passo 1

O enunciado (como eu o recebi) dá a densidade de corrente elétrica dependente de r e t e pede duas coisas: (a) a corrente que atravessa a superfície r=2\\ \mathrm{m}; (b) a densidade de carga \rho nessa superfície. Os dados fornecidos (interpretei e organizei) são:
\mathbf{J}(r,t)=\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r}\,\hat{a}_r\quad\text{(unidade: A/m}^2\text{)},
com t=0,1\\ \mathrm{ms} (ou seja t=1\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}) e queremos a superfície em r=2\\ \mathrm{m}.
Observação: o enunciado original contém um expoente escrito como 10^{\circ}; para poder resolver de forma consistente escolhi representar a constante de decaimento por \alpha (em s ^{-1}) e, mais adiante, avaliarei numericamente com a escolha \alpha=10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1}. Se você tiver um valor diferente para esse expoente, é só substituir \alpha pelo valor correto nas fórmulas abaixo.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a corrente total que atravessa a superfície esférica de raio r. Explico a ideia física e a fórmula usada: a corrente que atravessa uma superfície fechada é a integral da componente normal da densidade de corrente sobre a área,
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Para uma esfera de raio r o elemento de área vetorial é
d\mathbf{A}=r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{a}_r,
onde \theta e \varphi são os ângulos esféricos. Aqui \hat{a}_r é o versor radial e J é puramente radial, então \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=J_r\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Calculemos a integral de superfície explicitamente. Usamos J_r(r,t)=\dfrac{5\,e^{-\alpha t}}{r}. Assim,
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} J_r(r,t)\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\left(J_r(r,t)\,r^{2}\right)\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
As integrais angulares valem
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,
portanto o fator angular é 4\pi. Logo
I=4\pi\,r^{2}\,J_r(r,t).

Passo 4

Substituindo J_r(r,t)=\dfrac{5\,e^{-\alpha t}}{r} obtemos a expressão fechada da corrente:
I=4\pi r^{2}\cdot\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r}=20\pi\,r\,e^{-\alpha t}.
Para r=2\\ \mathrm{m} isso dá
I(r=2,t)=20\pi\cdot 2\\ e^{-\alpha t}=40\pi\,e^{-\alpha t}.
Agora vamos avaliar numericamente em t=0,1\\ \mathrm{ms}=1\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}. Usando a escolha \alpha=10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1} (veja nota no Passo 1) temos \alpha t=10^{3}\times 1\times 10^{-4}=0,1. Assim
I(r=2,t=0,1\\ \mathrm{ms})=40\pi\,e^{-0,1}.
Vamos fazer as contas passo a passo: 40\pi\approx 125,6637061 e e^{-0,1}\approx 0,9048374. Multiplicando,
I\approx 125{,}6637061\times 0{,}9048374 \approx 113{,}77\\ \mathrm{A}.
Portanto a corrente que atravessa a superfície r=2\\ \mathrm{m} no instante dado é aproximadamente 113{,}8\\ \mathrm{A} (com \alpha=10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1}).

Passo 5

Agora vamos encontrar a densidade de carga volumétrica \rho(r,t). A equação de continuidade relaciona divergência de \mathbf{J} com a variação temporal da densidade de carga:
\nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}.
Vou explicar como calcular \nabla\cdot\mathbf{J} para um campo puramente radial em coordenadas esféricas. Para \mathbf{J}=J_r(r,t)\,\hat{a}_r vale a fórmula
\nabla\cdot\mathbf{J}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}J_r(r,t)\big).
Substituímos J_r(r,t)=\dfrac{5\,e^{-\alpha t}}{r}. Então
r^{2}J_r(r,t)=r^{2}\cdot\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r}=5r\,e^{-\alpha t}.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}J_r\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(5r\,e^{-\alpha t}\big)=5\,e^{-\alpha t}.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{J}=\frac{1}{r^{2}}\;5\,e^{-\alpha t}=\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r^{2}}.

Passo 6

Aplicando a equação de continuidade:
-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{5\,e^{-\alpha t}}{r^{2}}.
Integramos com respeito ao tempo:
\rho(r,t)= -\frac{5}{r^{2}}\int e^{-\alpha t}\,dt = -\frac{5}{r^{2}}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right)+C(r) =\frac{5}{\alpha r^{2}}\,e^{-\alpha t}+C(r).
Aqui C(r) é uma função de r que aparece por causa da integração no tempo (é a condição inicial em cada ponto espacial). Normalmente, quando o enunciado não fornece uma condição inicial, é comum assumir que o meio estava inicialmente neutro: \rho(r,0)=0. Usando essa condição,
0=\rho(r,0)=\frac{5}{\alpha r^{2}}\,e^{0}+C(r)=\frac{5}{\alpha r^{2}}+C(r),
logo C(r)=-\dfrac{5}{\alpha r^{2}}. Assim
\rho(r,t)=\frac{5}{\alpha r^{2}}\big(e^{-\alpha t}-1\big).

Passo 7

Agora avaliamos \rho na superfície r=2\\ \mathrm{m}, no instante t=0,1\\ \mathrm{ms}, novamente com \alpha=10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1}. Calculamos o fator:
\frac{5}{\alpha r^{2}}=\frac{5}{(10^{3})(2^{2})}=\frac{5}{4000}=0{,}00125\\ \mathrm{C\!/m^{3}}.
Temos e^{-\alpha t}=e^{-0,1}\approx 0{,}9048374, então
\rho(2,t)=0{,}00125\big(0{,}9048374-1\big)=0{,}00125(-0{,}0951626)\approx -0{,}00011895\\ \mathrm{C\!/m^{3}}.
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes,
\rho(2,t)\approx -1{,}19\times 10^{-4}\\ \mathrm{C\!/m^{3}}.

Resposta

I(r=2,t=0,1\\ \mathrm{ms})\approx 113{,}8\\ \mathrm{A}.
\rho(r=2,t=0,1\\ \mathrm{ms})\approx -1{,}19\times 10^{-4}\\ \mathrm{C\!/m^{3}}.

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