Um dipolo elétrico é formado por cargas de \pm 1,0 \mathrm{nC} separadas por 2,0 \mathrm{~mm}. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo do eixo y. Qual é a intensidade do campo elétrico que ele cria no ponto (x, y)=(10,0 \mathrm{~cm}, 0 \mathrm{~cm})?

Passo 1

O enunciado pede a intensidade (magnitude) do campo elétrico criado por um dipolo elétrico no ponto (x,y)=(10,0\\ \mathrm{cm},0\\ \mathrm{cm}). Informações dadas e conversões:
  • Cargas: \pm 1,0\\ \mathrm{nC}. Vou usar q=1,0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Separação entre as cargas: 2,0\\ \mathrm{mm}. Vou usar d=2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • O dipolo está centrado na origem e orientado ao longo do eixo y. Assim as cargas estão em y=\pm d/2.
  • Ponto onde calcular: x=10,0\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}, y=0.
    O que se pede: a intensidade (valor absoluto) do campo elétrico \mathbf{E} no ponto indicado.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (Lei de Coulomb e superposição):
  • Campo elétrico produzido por uma carga pontual q no ponto determinado pelo vetor posição \mathbf{r} (do ponto carga até o ponto onde se calcula o campo) é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^3}\,\mathbf{r},
onde r=|\mathbf{r}| e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Costuma-se usar a constante
k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • Pelo princípio da superposição, o campo total é a soma vetorial dos campos de cada carga.
Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • q: magnitude da carga (em coulombs).
  • \mathbf{r}: vetor do local da carga até o ponto onde se quer \mathbf{E}.
  • r: módulo de \mathbf{r}.
  • k: constante eletrostática que vale aproximadamente 8{,}99\times10^{9}.

Passo 3

Posições das cargas e vetores de interesse:
  • Coloco a carga +q em (0,\,d/2) e a carga -q em (0,\,-d/2).
  • O ponto onde calculo é P=(x,0)=(0,10\\ \mathrm{m},0) mas com vírgulas: x=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Vetor do ponto P em relação à carga em +d/2 é \mathbf{r}_+=\bigl(x,\,-d/2\bigr). O módulo é
r=\sqrt{x^2+\bigl(d/2\bigr)^2}.
Pelo mesmo motivo o módulo da distância até a carga em -d/2 é o mesmo (simetria).
  • Geometricamente, as componentes verticais (no eixo y) dos campos produzidos por cada carga são iguais em módulo e de sinais opostos, portanto se cancelam. As componentes horizontais (no eixo x) têm o mesmo sinal e se somam. Logo o campo total é paralelo ao eixo x.

Passo 4

Expressão do componente x do campo de cada carga:
  • Módulo do campo produzido por uma carga q a distância r é \dfrac{kq}{r^2}.
  • O cosseno do ângulo entre a linha que liga a carga ao ponto e o eixo x é \cos\theta = \dfrac{x}{r}.
  • Então a componente x de cada campo vale \dfrac{kq}{r^2}\cdot\dfrac{x}{r}=\dfrac{kq\,x}{r^3}.
    Somando as duas cargas (as duas contribuições na direção x têm o mesmo sinal) obtemos
E_{\text{total}} = 2\,\dfrac{kq\,x}{r^3}, \qquad\text{com}\qquad r=\sqrt{x^2+\bigl(d/2\bigr)^2}.
Essa fórmula dá diretamente a intensidade do campo (pois o campo está inteiramente em x).

Passo 5

Substituir os números:
  • q=1,0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • d=2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\Rightarrow d/2=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • x=0,10\\ \mathrm{m}.
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Calcular r:
r=\sqrt{x^2+\bigl(d/2\bigr)^2}=\sqrt{(0,10)^2+(0,001)^2}\\ \mathrm{m} =\sqrt{0,0100+0,000001}\\ \mathrm{m}=\sqrt{0,010001}\\ \mathrm{m}.
r^2=0,010001\\ \mathrm{m^2},\qquad r^3=r^2\cdot r\approx0,010001\times0,100005\approx0,001000150005\\ \mathrm{m^3}.
Calcular o numerador 2kqx:
2kq x = 2\times(8{,}99\times10^{9})\times(1{,}0\times10^{-9})\times0,10 =2\times8{,}99\times0,10=1,798\\ \text{(unidade: N·m^3/m^3 = N/C após divisão)}.óã
Agora dividir:
E=\dfrac{2kq x}{r^3}\approx\dfrac{1,798}{0,001000150005}\\ \mathrm{N/C} \approx1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: com os dados fornecidos, o campo no ponto x=0,10\\ \mathrm{m} é aproximadamente 1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}. A direção é ao longo do eixo x (para a direita se a configuração for como assumida), mas como o enunciado pediu intensidade, o valor acima é a resposta final.

Resposta

1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}

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