4- Mostre que o operador momento definido por \mathbf{p}=\frac{\hbar}{i} \nabla leva a uma equação de autovalores \mathbf{H} \Psi=\mathrm{E} \Psi que é equivalente a equação de Schroedinger independente do tipo e que é consistente com a equação da energia total não relativística de Newton e Hamilton, H=\frac{|\mathbf{p}|^{2}}{2 m}+V(\mathbf{r}).

Passo 1

O enunciado dá a definição do operador momento e pede para mostrar que, ao usá-lo no Hamiltoniano clássico \,H=\dfrac{|\mathbf{p}|^{2}}{2m}+V(\mathbf{r}), obtemos uma equação de autovalores \mathbf{H}\Psi=E\Psi que é equivalente à equação de Schrödinger independente do tempo e consistente com a expressão clássica da energia total.
Informações fornecidas:
  • Operador momento: \displaystyle \mathbf{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla.
  • Hamiltoniano clássico: \displaystyle H=\frac{|\mathbf{p}|^{2}}{2m}+V(\mathbf{r}).
    O que devemos mostrar:
  • Substituir \mathbf{p} pelo operador dado no Hamiltoniano e obter a forma operadora \mathbf{H}.
  • Derivar a equação de autovalores \mathbf{H}\Psi=E\Psi e reconhecer que ela é a equação de Schrödinger independente do tempo.
  • Mostrar que isso é consistente com a expressão clássica de energia (por exemplo, verificando o caso de uma onda plana, que dá E=p^{2}/(2m)+V).

Passo 2

Interpretações e definições de símbolos (para não deixar nada dado como óbvio):
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (constante).
  • i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1).
  • \nabla é o operador gradiente \nabla=(\partial_{x},\partial_{y},\partial_{z}).
  • \nabla^{2} (ou Laplaciano) é \nabla\cdot\nabla=\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2}.
  • \Psi(\mathbf{r}) é uma função de onda dependente da posição \mathbf{r}.
  • V(\mathbf{r}) é o potencial (função de posição).
  • Quando escrevemos um operador agindo sobre \Psi, interpretamos \mathbf{p}\Psi=(\hbar/i)\nabla\Psi.

Passo 3

Calcular explicitamente \mathbf{p}^{2} como operador:
Escrevendo a operação duas vezes,
\mathbf{p}^{2}=\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)\cdot\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)=\left(\frac{\hbar}{i}\right)^{2}\nabla\cdot\nabla.
Como \left(\dfrac{\hbar}{i}\right)^{2}=\dfrac{\hbar^{2}}{i^{2}}=\dfrac{\hbar^{2}}{-1}=-\hbar^{2}, segue que
\mathbf{p}^{2}=-\hbar^{2}\nabla^{2}.
Explicação didática: operar com \mathbf{p} duas vezes equivale a aplicar o gradiente duas vezes e multiplicar pelo fator escalar (\hbar/i)^{2}. O resultado é proporcional ao Laplaciano com sinal negativo.

Passo 4

Construir o Hamiltoniano operador substituindo \mathbf{p}^{2} no Hamiltoniano clássico:
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}+V(\mathbf{r}).
Substituindo o resultado do passo anterior,
\mathbf{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r}).
Comentário didático: aqui V(\mathbf{r}) é visto como um operador de multiplicação (ele apenas multiplica a função \Psi(\mathbf{r}) por V(\mathbf{r})). Não há ambiguidade de ordem de operadores neste caso porque V(\mathbf{r}) atua multiplicando e a parte cinética envolve derivadas.

Passo 5

Escrever a equação de autovalores \mathbf{H}\Psi=E\Psi e reconhecer a forma conhecida:
Substituindo \mathbf{H},
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r})\right)\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r}).
Isto é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo (equação de autovalores de energia). Explicação: a equação determina funções de onda \Psi que são autoestados do operador energia \mathbf{H} com autovalores reais E (a hermiticidade de \mathbf{H} garante que E seja real).

Passo 6

Demonstrar consistência com a energia clássica usando um exemplo concreto (onda plana livre):
Considere o caso livre V(\mathbf{r})=0 e a solução tentativa (onda plana)
\Psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=A\,\mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}.
Aplicando o operador momento:
\mathbf{p}\,\Psi_{\mathbf{k}}=\frac{\hbar}{i}\nabla\left(A\,\mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) =\frac{\hbar}{i} \left(i\mathbf{k}\right)A\,\mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} =\hbar\mathbf{k}\,\Psi_{\mathbf{k}}.
Logo \Psi_{\mathbf{k}} é autovetor de \mathbf{p} com autovalor \hbar\mathbf{k} (momento clássico \mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}). Aplicando o Hamiltoniano obtém-se
\mathbf{H}\Psi_{\mathbf{k}}=\frac{|\hbar\mathbf{k}|^{2}}{2m}\Psi_{\mathbf{k}} =\frac{p^{2}}{2m}\Psi_{\mathbf{k}}.
Portanto o autovalor de energia é
E=\frac{p^{2}}{2m},
que coincide com a energia cinética clássica. Se houver um potencial V(\mathbf{r}) constante, soma-se esse valor e obtemos E=p^{2}/(2m)+V, exatamente a forma clássica.

Passo 7

Observações finais e significado físico (didático e motivador):
  • A substituição \mathbf{p}\mapsto(\hbar/i)\nabla transforma a energia clássica H(\mathbf{p},\mathbf{r}) numa operação sobre funções de onda, produzindo o operador \mathbf{H}. A equação de autovalores \mathbf{H}\Psi=E\Psi é a versão quântica da condição "energia total = E".
  • Em palavras simples: o procedimento é “pega a expressão clássica da energia, troca o momento por um operador diferencial e resolve a equação resultante para achar funções de onda que representam estados com energia bem definida”.
  • Isso mostra a consistência formal com a energia não relativística de Newton/Hamilton e produz a equação de Schrödinger independente do tempo, que é a ferramenta central para problemas estacionários em mecânica quântica.

Resposta

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\Psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})

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