4- Mostre que o operador momento definido por
leva a uma equação de autovalores
que é equivalente a equação de Schroedinger independente do tipo e que é consistente com a equação da energia total não relativística de Newton e Hamilton,
.
Passo 1
O enunciado dá a definição do operador momento e pede para mostrar que, ao usá-lo no Hamiltoniano clássico
, obtemos uma equação de autovalores
que é equivalente à equação de Schrödinger independente do tempo e consistente com a expressão clássica da energia total.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Operador momento:
. - Hamiltoniano clássico:
.
O que devemos mostrar: - Substituir
pelo operador dado no Hamiltoniano e obter a forma operadora . - Derivar a equação de autovalores
e reconhecer que ela é a equação de Schrödinger independente do tempo. - Mostrar que isso é consistente com a expressão clássica de energia (por exemplo, verificando o caso de uma onda plana, que dá
).
Passo 2
Interpretações e definições de símbolos (para não deixar nada dado como óbvio):
-
é a constante de Planck reduzida (constante). -
é a unidade imaginária ( ). -
é o operador gradiente . -
(ou Laplaciano) é . -
é uma função de onda dependente da posição . -
é o potencial (função de posição). - Quando escrevemos um operador agindo sobre
, interpretamos .
Passo 3
Calcular explicitamente
como operador:
Escrevendo a operação duas vezes,
Escrevendo a operação duas vezes,
Como
, segue que
Explicação didática: operar com
duas vezes equivale a aplicar o gradiente duas vezes e multiplicar pelo fator escalar
. O resultado é proporcional ao Laplaciano com sinal negativo.
Passo 4
Construir o Hamiltoniano operador substituindo
no Hamiltoniano clássico:
Substituindo o resultado do passo anterior,
Comentário didático: aqui
é visto como um operador de multiplicação (ele apenas multiplica a função
por
). Não há ambiguidade de ordem de operadores neste caso porque
atua multiplicando e a parte cinética envolve derivadas.
Passo 5
Escrever a equação de autovalores
e reconhecer a forma conhecida:
Substituindo ,
Substituindo
Isto é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo (equação de autovalores de energia). Explicação: a equação determina funções de onda
que são autoestados do operador energia
com autovalores reais
(a hermiticidade de
garante que
seja real).
Passo 6
Demonstrar consistência com a energia clássica usando um exemplo concreto (onda plana livre):
Considere o caso livre e a solução tentativa (onda plana)
Considere o caso livre
Aplicando o operador momento:
Logo
é autovetor de
com autovalor
(momento clássico
). Aplicando o Hamiltoniano obtém-se
Portanto o autovalor de energia é
que coincide com a energia cinética clássica. Se houver um potencial
constante, soma-se esse valor e obtemos
, exatamente a forma clássica.
Passo 7
Observações finais e significado físico (didático e motivador):
- A substituição
transforma a energia clássica numa operação sobre funções de onda, produzindo o operador . A equação de autovalores é a versão quântica da condição "energia total = ". - Em palavras simples: o procedimento é “pega a expressão clássica da energia, troca o momento por um operador diferencial e resolve a equação resultante para achar funções de onda que representam estados com energia bem definida”.
- Isso mostra a consistência formal com a energia não relativística de Newton/Hamilton e produz a equação de Schrödinger independente do tempo, que é a ferramenta central para problemas estacionários em mecânica quântica.