Um dipolo elétrico é formado por cargas de \pm 1,0 \mathrm{nC} separadas por 2,0 \mathrm{~mm}. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo do eixo y. Qual é a intensidade do campo elétrico que ele cria no ponto (x, y)=(0 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm})?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo que importa, claro e sem começar a resolver ainda).
  • Cargas: \pm 1,0\\ \mathrm{nC}. Ou seja, q=1,0\times 10^{-9}\\ \mathrm{C} para o módulo.
  • Separação entre as cargas: 2,0\\ \mathrm{mm}. Logo cada carga está a uma distância d/2 do centro do dipolo.
  • O dipolo está centrado na origem e orientado ao longo do eixo y. Isso significa que as cargas estão em (0,y) com y=\pm d/2.
  • Ponto onde se quer o campo: (x,y)=(0\\ \mathrm{cm},\\\ 10\\ \mathrm{cm}), isto é, no eixo y a 0{,}10\\ \mathrm{m} da origem.
  • O pedido: intensidade do campo elétrico criado pelo dipolo nesse ponto (ou seja, o módulo de \mathbf{E} no ponto).

Passo 2

Escolha do método e fórmulas usadas (explicadas com calma).
Vou usar a superposição: o campo no ponto é a soma dos campos criados por cada carga pontual. A lei que dá o campo de uma carga puntiforme é a Lei de Coulomb:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (vou usar k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}),
  • q é a carga que cria o campo (com sinal),
  • r é a distância do ponto de observação até a carga,
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta da carga para o ponto (a direção do campo: afastando-se da carga se q>0, apontando para a carga se q<0).
Como o ponto está sobre o eixo y e as duas cargas também estão no eixo y, os campos de cada carga serão colineares (ao longo de y). Assim posso trabalhar apenas com a componente E_y escalar, usando a regra de sinais para indicar direção.

Passo 3

Posições numéricas das cargas e do ponto (peguei todos os números do enunciado).
  • Separação total d=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então cada carga fica a uma distância
\frac{d}{2}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}001\\ \mathrm{m}
do centro (origem). Assim:
  • carga +q em (0,\;y_{+}) com y_{+}=+0{,}001\\ \mathrm{m},
  • carga -q em (0,\;y_{-}) com y_{-}=-0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • ponto de observação: P=(0,\;0{,}10\\ \mathrm{m}).

Passo 4

Distâncias do ponto até cada carga (passo simples, mas explico bem).
  • Distância do ponto P à carga positiva:
r_{+}=y_P - y_{+}=0{,}10-0{,}001=0{,}099\\ \mathrm{m}.
  • Distância do ponto P à carga negativa:
r_{-}=y_P - y_{-}=0{,}10-(-0{,}001)=0{,}101\\ \mathrm{m}.
Observação: como tudo está no mesmo eixo y, as distâncias são diferenças simples de coordenadas.

Passo 5

Campos produzidos por cada carga (módulos e direções), aplicando Coulomb e explicando o sinal/direção.
  • Módulo do campo produzido pela carga +q em P:
E_{+}=k\,\frac{q}{r_{+}^{2}}.
Direção: carga positiva repele, então em P o campo devido a +q aponta para cima (sentido + y).
  • Módulo do campo produzido pela carga -q em P:
E_{-}=k\,\frac{q}{r_{-}^{2}},
onde usei o módulo q para a intensidade; a direção é para a carga (porque é negativa), ou seja, aponta para baixo (sentido -y) no ponto P.
Agora substituo números. Tomando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2} e q=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}:
Calculo r_{+}^{2} e r_{-}^{2}:
r_{+}^{2}=(0{,}099)^2=0{,}009801\\ \mathrm{m^2}, \qquad r_{-}^{2}=(0{,}101)^2=0{,}010201\\ \mathrm{m^2}.
Agora os módulos:
E_{+}= \frac{8{,}99\times10^{9}\cdot 1{,}0\times10^{-9}}{0{,}009801} = \frac{8{,}99}{0{,}009801}\\ \mathrm{N/C} \approx 916{,}9\\ \mathrm{N/C},
E_{-}= \frac{8{,}99\times10^{9}\cdot 1{,}0\times10^{-9}}{0{,}010201} = \frac{8{,}99}{0{,}010201}\\ \mathrm{N/C} \approx 880{,}9\\ \mathrm{N/C}.
(Expliquei a cancelação de potências de 10: 8{,}99\times10^{9}\cdot 1{,}0\times10^{-9}=8{,}99.)

Passo 6

Somando vetorialmente (a superposição) e interpretando o sinal — faço a subtração porque os campos têm sentidos opostos.
  • E_{+} aponta para +y.
  • E_{-} aponta para -y.
Portanto a componente total ao longo de y é
E_{y}=E_{+}-E_{-}.
Substituindo os valores numéricos:
E_{y}\approx 916{,}9-880{,}9=36{,}0\\ \mathrm{N/C}.
O sinal positivo indica que o campo resultante aponta no sentido +y (para cima). Como o enunciado pediu a intensidade (módulo), tomamos o valor positivo 36{,}0\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Resumo final, interpretação física curta e um incentivo: o campo no ponto sobre o eixo está para cima e tem intensidade pequena porque o ponto está bem distante do dipolo comparado à separação das cargas — por isso as intensidades quase se cancelam e resta um valor pequeno (a ideia é que dipolos geram campos que caem rápido com a distância). Força na prova: se o ponto estivesse muito mais longe, dá para usar aproximação dipolar E\sim \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2pq}{r^3} etc., mas aqui fiz a conta exata pela superposição.

Resposta

36{,}0\\ \mathrm{N/C}

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