Um dipolo elétrico é formado por duas cargas \pm q espaçadas por 1,0 \mathrm{~cm}. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo do eixo y. A intensidade do campo elétrico que ele cria no ponto (x, y)=(0 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}) é de 360 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
a. Qual é o valor da carga q ? Expresse sua resposta em nC .
b. Qual é a intensidade do campo elétrico no ponto (x, y)=(10 \mathrm{~cm}, 0 \mathrm{~cm})?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um dipolo formado por duas cargas +q e -q, separação total 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • O dipolo está centrado na origem e orientado ao longo do eixo y. Vou colocar, por convenção, +q em y=+a e -q em y=-a, com a=\dfrac{1{,}0\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
    • No ponto P_1=(0,\;10\\ \mathrm{cm})=(0,\;0{,}10\\ \mathrm{m}) a intensidade do campo elétrico do dipolo é \,360\\ \mathrm{N/C}.
  • O que se pede:
    (a) Determinar o valor da carga q (em nC).
    (b) Determinar a intensidade do campo elétrico no ponto P_2=(10\\ \mathrm{cm},\;0)=(0{,}10\\ \mathrm{m},\;0).

Passo 2

Entender como calcular o campo em P_1 (sobre o eixo y) e montar a equação para obter q.
  • Fórmula básica: o campo elétrico de uma carga pontual Q em um ponto a uma distância r é
\mathbf{E} = k\frac{Q}{r^{2}}\hat{r},
onde k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, r é a distância do ponto à carga e \hat r é o versor que aponta da carga para o ponto (para carga positiva o campo aponta para fora; para carga negativa aponta para a carga).
  • No ponto P_1 (que está no eixo y acima da origem) as duas contribuições são ao longo do eixo y (sem componente x). Seja r_{+} a distância de +q a P_1 e r_{-} a distância de -q a P_1.
    • r_{+} = 0{,}10\\ \mathrm{m} - a.
    • r_{-} = 0{,}10\\ \mathrm{m} + a.
  • Direções: o campo de +q em P_1 aponta para cima (positivo em y); o campo de -q em P_1 aponta para baixo (negativo em y). Assim o módulo do campo resultante (com sinal) ao longo de y é
E_{y} = kq\left(\dfrac{1}{r_{+}^{2}} - \dfrac{1}{r_{-}^{2}}\right).
No enunciado foi dada a intensidade (módulo) 360\\ \mathrm{N/C}. Aqui, porque r_{+}<r_{-}, a diferença é positiva e o campo resultante aponta para cima; portanto podemos igualar a expressão ao valor dado.

Passo 3

Substituir números e resolver para q.
  • Primeiro calcule a, r_{+} e r_{-}:
    • a = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
    • r_{+} = 0{,}10 - 0{,}005 = 0{,}095\\ \mathrm{m}.
    • r_{-} = 0{,}10 + 0{,}005 = 0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • A equação para q é
360 = k q\!\left(\dfrac{1}{r_{+}^{2}} - \dfrac{1}{r_{-}^{2}}\right).
Isolando q:
q = \dfrac{360}{k\left(\dfrac{1}{r_{+}^{2}} - \dfrac{1}{r_{-}^{2}}\right)}.
  • Calcular os termos numéricos:
    • r_{+}^{2} = (0{,}095)^{2}=0{,}009025\\ \mathrm{m^{2}}.
    • r_{-}^{2} = (0{,}105)^{2}=0{,}011025\\ \mathrm{m^{2}}.
    • \dfrac{1}{r_{+}^{2}} - \dfrac{1}{r_{-}^{2}} = \dfrac{0{,}011025-0{,}009025}{r_{+}^{2}r_{-}^{2}} = \dfrac{0{,}002}{0{,}009025\cdot0{,}011025}.
    • Fazendo essa conta (detalhe aritmético): 0{,}009025\cdot0{,}011025=0{,}000099500625. Logo
    \dfrac{1}{r_{+}^{2}} - \dfrac{1}{r_{-}^{2}} \approx \dfrac{0{,}002}{0{,}000099500625}\approx 20{,}1005\\ \mathrm{m^{-2}}.
    • Usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}:
    q \approx \dfrac{360}{8{,}99\times10^{9}\times 20{,}1005}\\ \mathrm{C}.
  • Avaliando numericamente:
    • O denominador é aproximadamente 8{,}99\times10^{9}\times20{,}1005\approx 1{,}807\times10^{11}.
    • Assim q\approx 360/1{,}807\times10^{11}\approx 1{,}992\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Converter para nC: 1{,}992\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=1{,}992\\ \mathrm{nC}.
    • Arredondando com 3 algarismos significativos: q\approx 1{,}99\\ \mathrm{nC}.

Passo 4

Agora calcular o campo no ponto P_2=(0{,}10\\ \mathrm{m},\;0) (eixo x).
  • Geometria e simetria:
    • As cargas estão em (0,\,+a) e (0,\,-a).
    • Do ponto P_2 até cada carga a distância é igual: r=\sqrt{x^{2}+a^{2}} com x=0{,}10\\ \mathrm{m}. Assim r=\sqrt{(0{,}10)^{2}+(0{,}005)^{2}}=\sqrt{0{,}01+0{,}000025}=\sqrt{0{,}010025}\approx0{,}100125\\ \mathrm{m}.
  • Vetorialmente:
    • Para cada carga a contribuição do campo tem componente x e componente y. As componentes x das duas cargas são iguais e com o mesmo sinal, mas atenção ao sinal da carga; ao fazer a soma vetorial (lembrando que a carga negativa gera campo apontando para ela) obtém-se que as componentes x se cancelam (por simetria de sinais e posições) e as componentes y somam (com sinal negativo). Um modo prático de escrever o resultado é (derivação curta):
\mathbf{E}(P_2) = -\hat{y}\,\dfrac{2kqa}{r^{3}}.
  • Portanto o módulo do campo em P_2 é
E_{P_2} = \dfrac{2k q a}{r^{3}}.
  • Aqui a=0{,}005\\ \mathrm{m}, r=\sqrt{0{,}010025}\approx0{,}100125\\ \mathrm{m} e q já encontrado.

Passo 5

Calcular numericamente E_{P_2}.
  • Calcule r^{3}:
    • r^{2}=0{,}010025 (já acima), logo r^{3}=r\cdot r^{2}\approx 0{,}100125\cdot0{,}010025\approx 0{,}001003753\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Substituir valores na fórmula
E_{P_2} = \dfrac{2\cdot(8{,}99\times10^{9})\cdot(1{,}992\times10^{-9})\cdot 0{,}005}{0{,}001003753}.
  • Calcule o numerador:
    • 2\cdot8{,}99\times10^{9}\cdot1{,}992\times10^{-9}\cdot0{,}005 \approx 0{,}1791 (unidade N·m3/C·m?; depois dividido por r^3 fica N/C).
  • Dividindo pelo r^{3}\approx0{,}001003753:
    • E_{P_2}\approx 0{,}1791/0{,}001003753\approx 178{,}4\\ \mathrm{N/C}.
  • Portanto o módulo do campo em P_2 é aproximadamente 178\\ \mathrm{N/C}. (A direção é no sentido -\hat{y}, ou seja, para baixo, mas o enunciado pediu a intensidade.)

Resposta

(a) q = 1{,}99\\ \mathrm{nC}
(b) E = 178\\ \mathrm{N/C}

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