Para o dipolo do exercício 6, determine o torque exercido sobre ele se for colocado em um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0} que faz um ângulo \theta com o eixo do dipolo.

Passo 1

Vou descrever claramente o que a questão pede e o que nos é dado. O enunciado pede: determinar o torque exercido sobre um dipolo elétrico quando ele é colocado num campo elétrico uniforme \vec{E}_{0} que forma um ângulo \theta com o eixo do dipolo. Informações relevantes (essas são as hipóteses padrão para “o dipolo do exercício 6”):
  • O dipolo é formado por duas cargas pontuais +q e -q separadas por uma distância d.
  • O vetor de separação \vec{d} vai da carga negativa para a carga positiva e tem módulo d.
  • O campo elétrico é uniforme, igual em todos os pontos, e vale \vec{E}_{0}.
  • O ângulo entre o eixo do dipolo (ou seja, entre \vec{d} / \vec{p}) e o campo é \theta.
    O que se pede: calcular o torque \vec{\tau} sobre o dipolo (expressão vetorial) e a sua magnitude em função de q, d, E_{0} e \theta.

Passo 2

Definir o momento de dipolo e interpretar \theta. O momento de dipolo elétrico é definido por
\vec{p}=q\,\vec{d},
onde \vec{d} é o vetor que aponta da carga negativa para a positiva e tem módulo d. A unidade de \vec{p} é Coulomb·metro. O ângulo \theta é o ângulo entre \vec{p} e \vec{E}_{0}, isto é, entre o eixo do dipolo e a direção do campo.

Passo 3

Calcular as forças que atuam nas cargas. Num campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}:
  • A carga positiva sofre a força \vec{F}_{+}=q\,\vec{E}_{0}.
  • A carga negativa sofre a força \vec{F}_{-}=-q\,\vec{E}_{0}.
    Observação didática: num campo uniforme as forças têm o mesmo módulo e direções opostas, portanto a força total sobre o dipolo é nula ( \vec{F}_{\rm total}=\vec{0}), mas as forças formam um par de forças que gera um momento (torque).

Passo 4

Escolher um ponto de referência para calcular torque e escrever a expressão do torque resultante. É cômodo tomar a origem no ponto médio entre as cargas. Então os vetores posição das cargas são
\vec{r}_{+}=\tfrac{1}{2}\,\vec{d},\qquad \vec{r}_{-}=-\tfrac{1}{2}\,\vec{d}.
O torque total é a soma dos torques das duas forças:
\vec{\tau}=\vec{r}_{+}\times\vec{F}_{+}+\vec{r}_{-}\times\vec{F}_{-}.
Substituindo \vec{F}_{\pm} e \vec{r}_{\pm}:
\vec{\tau}=\left(\tfrac{1}{2}\vec{d}\right)\times\left(q\vec{E}_{0}\right) +\left(-\tfrac{1}{2}\vec{d}\right)\times\left(-q\vec{E}_{0}\right).

Passo 5

Simplificar a expressão do torque. Na linha anterior os dois termos são iguais, então:
\vec{\tau}= \tfrac{1}{2}q\,(\vec{d}\times\vec{E}_{0}) + \tfrac{1}{2}q\,(\vec{d}\times\vec{E}_{0}) = q\,(\vec{d}\times\vec{E}_{0}).
Usando \vec{p}=q\,\vec{d} obtemos a forma elegante e muito usada:
\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}_{0}.
Explicação da operação: o produto vetorial \times dá um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{p} e \vec{E}_{0}; o sentido segue a regra da mão direita e indica o sentido de rotação que o par de forças produz.

Passo 6

Dar a magnitude do torque e interpretar fisicamente. A magnitude do torque é dada por
\tau = \bigl\lVert\vec{\tau}\bigr\rVert = p\,E_{0}\sin\theta,
onde p=\lVert\vec{p}\rVert=q\,d e \theta é o ângulo entre \vec{p} e \vec{E}_{0}. Interpretação física: o torque tende a girar o dipolo de modo que \vec{p} se alinhe com \vec{E}_{0}. O potencial associado é U=-\vec{p}\cdot\vec{E}_{0}=-pE_{0}\cos\theta, então o torque é a tendência de reduzir essa energia, alinhando \vec{p} com \vec{E}_{0}.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: concluímos que o torque de um dipolo elétrico em campo uniforme é simplesmente \vec{p}\times\vec{E}_{0} e tem magnitude pE_{0}\sin\theta. Isso é uma formula curta e muito útil na prova — memorize a forma vetorial e a forma de módulo. Vai dar tudo certo, você consegue!

Resposta

\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}_{0}
\tau=p\,E_{0}\sin\theta

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