Quatro cargas de mesma magnitude q são dispostas nos vértices de um quadrado de lado a. As cargas nos vértices opostos têm o mesmo sinal. Determine a força sobre uma carga Q localizada no centro do quadrado se: (a) todas as cargas forem positivas; (b) cargas adjacentes tiverem sinais opostos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado.
  • Quatro cargas pontuais, todas de mesma magnitude q, estão nos vértices de um quadrado de lado a.
  • As cargas em vértices opostos têm o mesmo sinal (ou seja, cada par de vértices opostos contém cargas iguais).
  • Há uma carga Q colocada no centro do quadrado; queremos a força sobre essa carga.
  • O enunciado pede dois casos:
    • (a) todas as quatro cargas valem +q (todas positivas);
    • (b) cargas adjacentes têm sinais opostos (padrão +,-,+,- ao redor do quadrado, ainda com vértices opostos tendo o mesmo sinal).
O objetivo: calcular a força elétrica resultante \vec{F} exercida pelas quatro cargas sobre a carga Q no centro, nos dois casos.

Passo 2

Principais ferramentas físicas e ideias que usaremos (explicação didática).
  • Lei de Coulomb (forma vetorial): a força elétrica exercida por uma carga pontual q_i situada em \vec r_i sobre uma carga teste Q em \vec r é
\vec F_i = k\frac{q_i Q}{|\vec r-\vec r_i|^{3}}(\vec r-\vec r_i),
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui:
  • q_i é a carga que gera o campo,
  • Q é a carga sobre a qual calculamos a força,
  • \vec r-\vec r_i é o vetor que vai da posição da carga q_i até a posição da carga Q,
  • o denominador |\vec r-\vec r_i|^{3} combina a dependência com o quadrado da distância e a normalização do vetor direção.
  • A força total sobre Q é a soma vetorial das forças de cada carga:
\vec F_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^{4}\vec F_i.
  • Dica de economia: por simetria muitas vezes pares de forças se cancelam. Para o quadrado com carga no centro, cargas colocadas em vértices opostos produzem forças de mesma magnitude e direções opostas sobre um ponto central — em muitos casos essas contribuições se anulam.
Vou aplicar essas ideias montando um sistema de coordenadas e somando vetores; sempre que possível usarei simetria para evitar cálculos desnecessários.

Passo 3

Escolha de coordenadas e cálculo da distância centro–vértice.
  • Coloco o centro do quadrado na origem do plano: \vec 0.
  • Vértices do quadrado (lados paralelos aos eixos) ficam em
\left(\pm\frac{a}{2},\pm\frac{a}{2}\right).
  • Distância do centro a qualquer vértice:
r=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Portanto r^{2}=\dfrac{a^{2}}{2}.

Passo 4

Cálculo da magnitude do campo elétrico produzido por uma carga q no centro (apenas magnitude, antes de tratar direção).
  • A magnitude do campo elétrico devido a uma carga q situada a distância r é
E_{\text{mag}}=k\frac{|q|}{r^{2}}.
  • Substituindo r^{2}=\dfrac{a^{2}}{2}:
E_{\text{mag}}=k\frac{|q|}{a^{2}/2}=2k\frac{|q|}{a^{2}}.
  • Observação: este é o módulo do campo criado por cada vértice no centro; a direção depende do sinal de q e da posição do vértice (campo sai de cargas positivas e entra em cargas negativas).

Passo 5

Análise do caso (a): todas as cargas são positivas ( +q em todos os vértices).
  • Para uma carga +q situada em um vértice, o campo em \vec 0 aponta para fora do vértice, ou seja, do vértice em direção ao centro o vetor campo tem sentido de afastamento do vértice. Mas é mais simples raciocinar em pares opostos:
  • Considere o par de vértices opostos, por exemplo \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right) e \left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right). Suas contribuições de campo no centro têm mesmo módulo 2kq/a^{2} e direções exatamente opostas (pois os vetores unitários são mutuamente inversos). Logo as duas se anulam.
  • Mesmo raciocínio para o outro par oposto \left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right) e \left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right): anulam entre si.
  • Portanto o campo elétrico total no centro é \vec E_{\text{tot}}=\vec 0.
  • A força sobre Q é \vec F=Q\vec E_{\text{tot}}=\vec 0. Nota: isso vale para qualquer sinal de Q — se \vec E_{\text{tot}}=\vec 0, a força é nula independentemente de Q.

Passo 6

Análise do caso (b): cargas adjacentes com sinais opostos (padrão +,-,+,- ao redor do quadrado), mantendo vértices opostos com o mesmo sinal.
  • Um arranjo consistente com a condição é, por exemplo:
    • +q em \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right);
    • -q em \left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right);
    • +q em \left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right);
    • -q em \left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right).
      (Isto atende: cargas adjacentes com sinais opostos e vértices opostos com mesmo sinal.)
  • Novamente, examine pares opostos: as cargas opostas têm o mesmo sinal e mesma magnitude, e estão a igual distância do centro em direções opostas. A contribuição vetorial de uma carga e da sua oposta tem o mesmo módulo e direções antiparalelas, portanto se anulam par a par.
  • Mais explicitamente:
    • O par de +q posicionados em vértices opostos produzem campos iguais em módulo e opostos em direção → anulam-se.
    • O par de -q posicionados em vértices opostos produzem campos iguais e opostos → anulam-se.
  • Conclusão: o campo total no centro é \vec E_{\text{tot}}=\vec 0 também neste caso.
  • Logo a força sobre Q é \vec F=Q\vec E_{\text{tot}}=\vec 0.

Passo 7

Resumo físico e intuição final (didática e motivadora).
  • A razão pela qual as duas disposições dão força nula é simetria. Pelo fato de as cargas em vértices opostos serem iguais, cada carga tem um “par” exatamente oposto cuja contribuição no centro é igual em módulo e contrária em direção. Portanto as quatro contribuições se somam a zero.
  • Importante: isso não depende do valor numérico de q, nem do sinal de Q; enquanto as magnitudes dos quatro vértices forem iguais e opostos por pares, o resultado no centro é nulo.
  • Motivação para a prova: sempre que houver muita simetria (rotacional de 180º no caso do quadrado com pares opostos iguais), verifique cancelamentos par a par antes de fazer somas vetoriais longas — economiza tempo e evita erros.

Resposta

(a) \vec F=\vec 0
(b) \vec F=\vec 0

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