Quatro cargas de mesma magnitude
são dispostas nos vértices de um quadrado de lado
. As cargas nos vértices opostos têm o mesmo sinal. Determine a força sobre uma carga
localizada no centro do quadrado se: (a) todas as cargas forem positivas; (b) cargas adjacentes tiverem sinais opostos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado.
- Quatro cargas pontuais, todas de mesma magnitude
, estão nos vértices de um quadrado de lado . - As cargas em vértices opostos têm o mesmo sinal (ou seja, cada par de vértices opostos contém cargas iguais).
- Há uma carga
colocada no centro do quadrado; queremos a força sobre essa carga. - O enunciado pede dois casos:
- (a) todas as quatro cargas valem
(todas positivas); - (b) cargas adjacentes têm sinais opostos (padrão
ao redor do quadrado, ainda com vértices opostos tendo o mesmo sinal).
- (a) todas as quatro cargas valem
O objetivo: calcular a força elétrica resultante
exercida pelas quatro cargas sobre a carga
no centro, nos dois casos.
Passo 2
Principais ferramentas físicas e ideias que usaremos (explicação didática).
- Lei de Coulomb (forma vetorial): a força elétrica exercida por uma carga pontual
situada em sobre uma carga teste em é
onde
. Aqui:
-
é a carga que gera o campo, -
é a carga sobre a qual calculamos a força, -
é o vetor que vai da posição da carga até a posição da carga , -
o denominador
combina a dependência com o quadrado da distância e a normalização do vetor direção. -
A força total sobre
é a soma vetorial das forças de cada carga:
- Dica de economia: por simetria muitas vezes pares de forças se cancelam. Para o quadrado com carga no centro, cargas colocadas em vértices opostos produzem forças de mesma magnitude e direções opostas sobre um ponto central — em muitos casos essas contribuições se anulam.
Vou aplicar essas ideias montando um sistema de coordenadas e somando vetores; sempre que possível usarei simetria para evitar cálculos desnecessários.
Passo 3
Escolha de coordenadas e cálculo da distância centro–vértice.
- Coloco o centro do quadrado na origem do plano:
. - Vértices do quadrado (lados paralelos aos eixos) ficam em
- Distância do centro a qualquer vértice:
- Portanto
.
Passo 4
Cálculo da magnitude do campo elétrico produzido por uma carga
no centro (apenas magnitude, antes de tratar direção).
- A magnitude do campo elétrico devido a uma carga
situada a distância é
- Substituindo
:
- Observação: este é o módulo do campo criado por cada vértice no centro; a direção depende do sinal de
e da posição do vértice (campo sai de cargas positivas e entra em cargas negativas).
Passo 5
Análise do caso (a): todas as cargas são positivas (
em todos os vértices).
- Para uma carga
situada em um vértice, o campo em aponta para fora do vértice, ou seja, do vértice em direção ao centro o vetor campo tem sentido de afastamento do vértice. Mas é mais simples raciocinar em pares opostos: - Considere o par de vértices opostos, por exemplo
e . Suas contribuições de campo no centro têm mesmo módulo e direções exatamente opostas (pois os vetores unitários são mutuamente inversos). Logo as duas se anulam. - Mesmo raciocínio para o outro par oposto
e : anulam entre si. - Portanto o campo elétrico total no centro é
. - A força sobre
é . Nota: isso vale para qualquer sinal de — se , a força é nula independentemente de .
Passo 6
Análise do caso (b): cargas adjacentes com sinais opostos (padrão
ao redor do quadrado), mantendo vértices opostos com o mesmo sinal.
- Um arranjo consistente com a condição é, por exemplo:
-
em ; -
em ; -
em ; -
em .
(Isto atende: cargas adjacentes com sinais opostos e vértices opostos com mesmo sinal.)
-
- Novamente, examine pares opostos: as cargas opostas têm o mesmo sinal e mesma magnitude, e estão a igual distância do centro em direções opostas. A contribuição vetorial de uma carga e da sua oposta tem o mesmo módulo e direções antiparalelas, portanto se anulam par a par.
- Mais explicitamente:
- O par de
posicionados em vértices opostos produzem campos iguais em módulo e opostos em direção → anulam-se. - O par de
posicionados em vértices opostos produzem campos iguais e opostos → anulam-se.
- O par de
- Conclusão: o campo total no centro é
também neste caso. - Logo a força sobre
é .
Passo 7
Resumo físico e intuição final (didática e motivadora).
- A razão pela qual as duas disposições dão força nula é simetria. Pelo fato de as cargas em vértices opostos serem iguais, cada carga tem um “par” exatamente oposto cuja contribuição no centro é igual em módulo e contrária em direção. Portanto as quatro contribuições se somam a zero.
- Importante: isso não depende do valor numérico de
, nem do sinal de ; enquanto as magnitudes dos quatro vértices forem iguais e opostos por pares, o resultado no centro é nulo. - Motivação para a prova: sempre que houver muita simetria (rotacional de 180º no caso do quadrado com pares opostos iguais), verifique cancelamentos par a par antes de fazer somas vetoriais longas — economiza tempo e evita erros.
Resposta
(a)
(b)