Três cargas
estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Calcule o campo elétrico no baricentro do triângulo e discuta o resultado com base na simetria.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Três cargas iguais
estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado . - Pede-se calcular o campo elétrico no baricentro (centroide) do triângulo.
- Pede-se discutir o resultado com base na simetria.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As três cargas têm o mesmo valor
e o mesmo sinal ( ). - O triângulo é equilátero (todos os lados iguais e ângulos de
). - O ponto onde se quer o campo é o baricentro (centro geométrico) do triângulo.
Passo 2
Principais leis e ideias que vou usar (explicadas):
- Lei de Coulomb (forma vetorial): o campo elétrico gerado por uma carga pontual
localizada no ponto de posição , avaliado em um ponto , é dado por
Aqui
é a permissividade do vácuo,
é o vetor que aponta da carga até o ponto onde se calcula o campo, e
é a distância entre a carga e esse ponto.
- Princípio da superposição: o campo resultante devido a várias cargas é a soma vetorial dos campos individuais. Ou seja, para três cargas,
Vou explicar cada termo quando aplicar.
Passo 3
Distância do vértice ao baricentro (essa distância aparece nas fórmulas):
- Em um triângulo equilátero de lado
, a altura vale
- O baricentro fica a
da altura a partir do vértice ao longo da mediana. Assim a distância do vértice ao baricentro é
Portanto cada carga está a igual distância
do baricentro.
Passo 4
Escolha de sistema de coordenadas e vetores posição (para somar os campos de forma simples):
- Coloco o baricentro na origem do sistema:
. - Denoto por
os vetores posição dos três vértices (cada um apontando da origem até uma carga). Como todas as cargas estão à mesma distância e estão igualmente espaçadas por em torno do centro, vale a relação geométrica do centroide:
Explicação dessa igualdade: o baricentro é a média aritmética dos vetores posição dos vértices, então a soma dos três vetores posição é zero quando o baricentro é a origem. Intuitivamente, os três vetores de mesmo comprimento apontando a
um do outro somam vetorialmente zero.
Passo 5
Campo gerado por cada carga no baricentro (usando origem como ponto de avaliação):
- Aplicando a lei de Coulomb para a carga no vértice com vetor posição
, o campo no ponto origem é
- Observação sobre o sinal e direção: o vetor
aponta do vértice para o centro, ou seja o campo devido a uma carga positiva aponta do vértice em direção ao baricentro, conforme esperado (campo afasta-se da carga, e no ponto central a direção é para dentro ao longo da mediana).
Passo 6
Soma vetorial dos três campos (superposição) e simplificação usando a soma das posições:
- O campo total no baricentro é a soma
- Usando a identidade do Passo 4,
, obtemos
Portanto o campo elétrico no baricentro é o vetor nulo.
Passo 7
Interpretação física e discussão pela simetria (explicação didática):
- A razão pela qual o campo é nulo é a simetria de rotação de ordem três: girando o triângulo
em torno do baricentro as posições das cargas se permutam e o sistema fica inalterado. Como todas as cargas são iguais, as contribuições de campo têm mesmos módulo e estão separadas por ângulos de ; vetorialmente essas três contribuições se cancelam. - Complemento quantitativo: o módulo do campo produzido por cada carga individualmente no centro seria
mas apesar de cada uma ter esse módulo, as direções são tais que a soma vetorial é zero.
- Observação útil: o potencial elétrico no baricentro não é zero; como potencial é escalar, soma-se algebraicamente:
Isso mostra que campo vetorial nulo não implica potencial nulo.
- Intuição sobre equilíbrio: um teste positivo colocado exatamente no baricentro não sente força (campo nulo), mas esse equilíbrio é instável (teorema de Earnshaw), e qualquer pequena perturbação deslocará a carga e gerará forças não nulas que a afastam.