Três cargas +q estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Calcule o campo elétrico no baricentro do triângulo e discuta o resultado com base na simetria.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Três cargas iguais \,+q estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado \,a.
  • Pede-se calcular o campo elétrico no baricentro (centroide) do triângulo.
  • Pede-se discutir o resultado com base na simetria.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As três cargas têm o mesmo valor \,q e o mesmo sinal ( +).
  • O triângulo é equilátero (todos os lados iguais e ângulos de 60^\circ).
  • O ponto onde se quer o campo é o baricentro (centro geométrico) do triângulo.

Passo 2

Principais leis e ideias que vou usar (explicadas):
  • Lei de Coulomb (forma vetorial): o campo elétrico gerado por uma carga pontual \,q localizada no ponto de posição \vec{r}_q, avaliado em um ponto \vec{r}, é dado por
\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_q}{|\vec{r}-\vec{r}_q|^3}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \vec{r}-\vec{r}_q é o vetor que aponta da carga até o ponto onde se calcula o campo, e |\vec{r}-\vec{r}_q| é a distância entre a carga e esse ponto.
  • Princípio da superposição: o campo resultante devido a várias cargas é a soma vetorial dos campos individuais. Ou seja, para três cargas,
\vec{E}_{\text{tot}}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3.
Vou explicar cada termo quando aplicar.

Passo 3

Distância do vértice ao baricentro (essa distância aparece nas fórmulas):
  • Em um triângulo equilátero de lado \,a, a altura vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
  • O baricentro fica a 2/3 da altura a partir do vértice ao longo da mediana. Assim a distância do vértice ao baricentro é
r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Portanto cada carga está a igual distância \,r=\dfrac{a}{\sqrt{3}} do baricentro.

Passo 4

Escolha de sistema de coordenadas e vetores posição (para somar os campos de forma simples):
  • Coloco o baricentro na origem do sistema: \vec{r}=\vec{0}.
  • Denoto por \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3 os vetores posição dos três vértices (cada um apontando da origem até uma carga). Como todas as cargas estão à mesma distância \,r e estão igualmente espaçadas por 120^\circ em torno do centro, vale a relação geométrica do centroide:
\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3=\vec{0}.
Explicação dessa igualdade: o baricentro é a média aritmética dos vetores posição dos vértices, então a soma dos três vetores posição é zero quando o baricentro é a origem. Intuitivamente, os três vetores de mesmo comprimento apontando a 120^\circ um do outro somam vetorialmente zero.

Passo 5

Campo gerado por cada carga no baricentro (usando origem como ponto de avaliação):
  • Aplicando a lei de Coulomb para a carga no vértice com vetor posição \vec{r}_i, o campo no ponto origem \vec{0} é
\vec{E}_i(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\frac{\vec{0}-\vec{r}_i}{|\vec{0}-\vec{r}_i|^3} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\frac{-\vec{r}_i}{r^3} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^3}\,\vec{r}_i.
  • Observação sobre o sinal e direção: o vetor -\vec{r}_i aponta do vértice para o centro, ou seja o campo devido a uma carga positiva aponta do vértice em direção ao baricentro, conforme esperado (campo afasta-se da carga, e no ponto central a direção é para dentro ao longo da mediana).

Passo 6

Soma vetorial dos três campos (superposição) e simplificação usando a soma das posições:
  • O campo total no baricentro é a soma
\vec{E}_{\text{tot}}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3 = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^3}\,(\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3).
  • Usando a identidade do Passo 4, \vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3=\vec{0}, obtemos
\vec{E}_{\text{tot}}=\vec{0}.
Portanto o campo elétrico no baricentro é o vetor nulo.

Passo 7

Interpretação física e discussão pela simetria (explicação didática):
  • A razão pela qual o campo é nulo é a simetria de rotação de ordem três: girando o triângulo 120^\circ em torno do baricentro as posições das cargas se permutam e o sistema fica inalterado. Como todas as cargas são iguais, as contribuições de campo têm mesmos módulo e estão separadas por ângulos de 120^\circ; vetorialmente essas três contribuições se cancelam.
  • Complemento quantitativo: o módulo do campo produzido por cada carga individualmente no centro seria
E_{\text{individual}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} =\frac{3}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{a^2},
mas apesar de cada uma ter esse módulo, as direções são tais que a soma vetorial é zero.
  • Observação útil: o potencial elétrico no baricentro não é zero; como potencial é escalar, soma-se algebraicamente:
V_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^3\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} =3\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\neq 0.
Isso mostra que campo vetorial nulo não implica potencial nulo.
  • Intuição sobre equilíbrio: um teste positivo colocado exatamente no baricentro não sente força (campo nulo), mas esse equilíbrio é instável (teorema de Earnshaw), e qualquer pequena perturbação deslocará a carga e gerará forças não nulas que a afastam.

Resposta

\vec{E}=\vec{0}

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