Um dipolo p está orientado perpendicularmente a um plano condutor infinito e a uma distância d deste. O plano está conectado à terra. Considerando que o dipolo está na origem do sistema de coordenadas, obtenha o campo elétrico E em função do vetor posição r. Está expressão é válida para todos os pontos do espaço?

Passo 1

O enunciado diz que temos um dipolo vec p colocado na origem, orientado perpendicularmente a um plano condutor infinito aterrado, esse plano estando à distância d da origem. Queremos obter o campo elétrico vec E(vec r) no espaço, usando o método dos espelhos e a expressão para o campo de um dipolo em espaço livre.

Passo 2

No método dos espelhos, o condutor aterrado é substituído por um dipolo imagem que garante V=0 no plano. Para um dipolo perpendicular ao plano, o momento da imagem é
vec p'=-vec p
Como o plano está em z=-d e o dipolo real em z=0, o dipolo imagem fica em z=-2d.

Passo 3

Recordando que o campo de um dipolo vec p, em espaço livre, num ponto definido por vec R (vetor do dipolo até o ponto) é
vec Erm dip(vec R) =14pivarepsilon0l[3(vec pcdotvec R),vec Rlvertvec Rrvert^5 -vec plvertvec Rrvert^3r],
devemos somar a contribuição do dipolo real com vec R=vec r e a do dipolo imagem com vec R1=vec r-(0,0,-2d)=vec r+2d,hat z.

Passo 4

Somando as duas contribuições e usando vec p'=-vec p, chega-se a
vec E(vec r) =14pivarepsilon0l[ 3(vec pcdotvec r),vec rlvertvec rrvert^5 -vec plvertvec rrvert^3 -3l(vec pcdotvec R1r),vec R1lvertvec R1rvert^5 +vec plvertvec R1rvert^3 r],
com
vec R1=vec r+2d,hat z

Passo 5

Essa expressão foi obtida com o método de imagem valendo apenas no semiespaço onde está o dipolo real, isto é para
z>-d
No interior do condutor (e do outro lado do plano) o campo é diferente — dentro do condutor ele se anula.

Resposta

boxed vec E(vec r) =14pivarepsilon0l[ 3(vec pcdotvec r),vec rlvertvec rrvert^5 -vec plvertvec rrvert^3 -3l[vec pcdot(vec r+2d,hat z)r],(vec r+2d,hat z)lvertvec r+2d,hat zrvert^5 +vec plvertvec r+2d,hat zrvert^3 r], z>-d

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