Um cilindro condutor, que possui uma carga
por unidade de comprimento, está orientado paralelamente a um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. O eixo do cilindro está a uma distância
do plano e o raio do cilindro é a. Localize a imagem linear e determine também a constante M em função de a
.
Passo 1
Resumo do enunciado e plano de ataque
O problema é um cilindro condutor de raio e carga total por unidade de comprimento
, cujo eixo está paralelo a um plano metálico aterrado e situado a uma distância
desse plano. Queremos substituir o plano aterrado pela “imagem” do cilindro, de modo que o potencial seja zero em
e que o cilindro permanece equipotencial. Para isso vamos usar o método das imagens em coordenadas bipolares, que nos leva a uma série infinita de cargas-lineares imagem dispostas simetricamente em relação ao plano. Nosso objetivo neste passo é obter a primeira carga-imagem e ver que todas as outras se repetem em razão constante
, daí determinar
em função de
e
.
O problema é um cilindro condutor de raio
Passo 2
Condicionamento pelo plano aterrado: primeira imagem
Quando temos uma carga linear em
e um plano condutor aterrado em
, a primeira substituição pelo método das imagens é uma carga linear
localizada em
. Isso garante que o potencial total no plano
seja zero. No entanto, essa configuração ainda não torna o cilindro de raio
e centro
equipotencial.
Quando temos uma carga linear
Passo 3
Correção da equipotencial do cilindro: geração da segunda imagem
Para que a superfície circular de raio em torno de
seja equipotencial, fazemos a reflexão da carga
na circunferência. A “fórmula da imagem em círculo” diz que uma carga
em
(no plano complexo) gera uma imagem
em
Para que a superfície circular de raio
No nosso caso
, logo
e
Passo 4
Surgimento de uma série infinita de imagens e razão constante
Se analisarmos a composição de uma reflexão no plano seguida de outra na circunferência, vemos que a cada “dois passos” o módulo da carga é multiplicado por uma constante positiva não depende de
, mas só de
e
.
Passo 5
Cálculo explícito de
Para extrair basta seguir o par de reflexões: comece em
, reflita no cilindro para ir a
Para extrair
e depois no plano para
O módulo da carga em
vale
, mas para ver a razão em comparação com
pós-dois passos é mais simples usar coordenadas bipolares: define-se o parâmetro
tal que
Nesse parâmetro a cada volta completa a magnitude da carga multiplica por
Uma forma mais comum de apresentar é
pois observe que
Resposta
A imagem linear do cilindro junto ao plano aterrado dá origem a uma série de cargas–imagem
, intercaladas entre reflexões no plano
e na circunferência de raio
em torno de
. A razão constante é