Um cilindro condutor, que possui uma carga lambda por unidade de comprimento, está orientado paralelamente a um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. O eixo do cilindro está a uma distância x0 do plano e o raio do cilindro é a. Localize a imagem linear e determine também a constante M em função de a e x0.

Passo 1

Resumo do enunciado e plano de ataque
O problema é um cilindro condutor de raio a e carga total por unidade de comprimento lambda, cujo eixo está paralelo a um plano metálico aterrado e situado a uma distância x0 desse plano. Queremos substituir o plano aterrado pela “imagem” do cilindro, de modo que o potencial seja zero em x=0 e que o cilindro permanece equipotencial. Para isso vamos usar o método das imagens em coordenadas bipolares, que nos leva a uma série infinita de cargas-lineares imagem dispostas simetricamente em relação ao plano. Nosso objetivo neste passo é obter a primeira carga-imagem e ver que todas as outras se repetem em razão constante M, daí determinar M em função de a e x0.

Passo 2

Condicionamento pelo plano aterrado: primeira imagem
Quando temos uma carga linear lambda em (x,y)=(x0,0) e um plano condutor aterrado em x=0, a primeira substituição pelo método das imagens é uma carga linear lambda1=-lambda localizada em (x,y)=(-x0,0). Isso garante que o potencial total no plano x=0 seja zero. No entanto, essa configuração ainda não torna o cilindro de raio a e centro (x0,0) equipotencial.

Passo 3

Correção da equipotencial do cilindro: geração da segunda imagem
Para que a superfície circular de raio a em torno de (x0,0) seja equipotencial, fazemos a reflexão da carga lambda1 na circunferência. A “fórmula da imagem em círculo” diz que uma carga lambda1 em z1 (no plano complexo) gera uma imagem lambda2=-lambda1 em
z2 = x0;+;a^2,z1-x0,
No nosso caso z1=-x0, logo
z2 =x0;+;a^2-x0-x0 =x0-a^22x0
e
lambda2=-lambda1=+lambda

Passo 4

Surgimento de uma série infinita de imagens e razão constante
Se analisarmos a composição de uma reflexão no plano seguida de outra na circunferência, vemos que a cada “dois passos” o módulo da carga é multiplicado por uma constante positiva não depende de , mas só de e .

Passo 5

Cálculo explícito de M
Para extrair M basta seguir o par de reflexões: comece em z1=-x0, reflita no cilindro para ir a
z2=x0-a^22x0,
e depois no plano para
z3=-z2=-l(x0-a^22x0r)
O módulo da carga em z3 vale |lambda3|=|lambda1|, mas para ver a razão em comparação com lambda1 pós-dois passos é mais simples usar coordenadas bipolares: define-se o parâmetro eta0 tal que
cosheta0=x0a, sinheta0=raizx0^2-a^2a
Nesse parâmetro a cada volta completa a magnitude da carga multiplica por
M=e^-2eta0 = l(cosheta0-sinheta0r)^2 = l(x0-raizx0^2-a^2r)^2a^2
Uma forma mais comum de apresentar é
M = x0-raizx0^2-a^2x0+raizx0^2-a^2,,
pois observe que
l(x0-raizx0^2-a^2r)^2a^2 =x0-raizx0^2-a^2x0+raizx0^2-a^2,

Resposta

A imagem linear do cilindro junto ao plano aterrado dá origem a uma série de cargas–imagem lambdan=(-1)^n+1,lambda,M^lfloor(n-1)/2rfloor, intercaladas entre reflexões no plano x=0 e na circunferência de raio a em torno de (x0,0). A razão constante é
M = x0-raizx0^2-a^2x0+raizx0^2-a^2,

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