Mostre que existe uma função polinomial
de grau
tal que
(a)
precisamente para
números
.
(b)
para nenhum
, se
é ímpar.
(c)
para exatamente um número
, se
é par.
(d)
para exatamente
números
, se
é ímpar.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos, para cada
, um polinômio
de grau
cuja derivada possui exatamente o número de raízes reais indicado em (a)–(d). Vamos usar dois ingredientes principais:
- Papel de Rolle. Se um polinômio tem
raízes reais simples, a derivada tem pelo menos raízes reais (Rolle). - Polinômio sem pontos críticos. Para cada grau ímpar
podemos tomar cuja derivada é sempre positiva (pois é par), logo não tem zeros reais.
Com esses ingredientes, construiremos explicitamente
em cada caso.
Passo 2
(a) Queremos
e
. Basta escolher
raízes reais distintas
e definir
Então por Rolle, entre cada par
há pelo menos uma raiz de
, totalizando exatamente
zeros simples de
.
Passo 3
(b) Se
é ímpar, tome
Como
é par,
para todo
. Logo
não se anula em
.
Passo 4
(c) Se
é par, use o mesmo
então
é ímpar e
é uma função contínua de grau ímpar, com
e
. Por se tratar de um polinômio de grau ímpar monótono de cada lado,
cruza o zero exatamente uma vez.
Passo 5
(d) Seja
tal que
é ímpar. Defina
e tome
ímpar. Seja
cuja derivada nunca se anula. Finalmente ponha
Então
e
Observe:
-
sempre, e com , logo
. - Como
é ímpar, é par e o termo principal é positivo, temos
. - Nos pontos
, os sinais de alternam (por serem raízes simples), e . Assim muda de sinal em cada .
Pelo teorema do valor intermediário, em cada intervalo
existe pelo menos uma raiz de
, totalizando
raízes nessas regiões. Além disso, como
e
e
têm sinal negativo em uma extremidade e positivo na outra, aparecem mais dois zeros, um em
e outro em
? Não: como
é par, não há troca de sinal nas “pontas” de
, então não surgem zeros extras. Portanto,
tem exatamente
raízes reais.
Resposta
Em cada caso (a)–(d) foi exibida uma construção de
de grau
cuja derivada tem exatamente o número de zeros reais pedido.