Mostre que existe uma função polinomial f de grau n tal que
(a) f^prime(x)=0 precisamente para n-1 números x.
(b) f^prime(x)=0 para nenhum x, se n é ímpar.
(c) f^prime(x)=0 para exatamente um número x, se n é par.
(d) f^prime(x)=0 para exatamente k números x, se n-k é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos, para cada ninN, um polinômio f de grau n cuja derivada possui exatamente o número de raízes reais indicado em (a)–(d). Vamos usar dois ingredientes principais:
  1. Papel de Rolle. Se um polinômio tem d raízes reais simples, a derivada tem pelo menos d-1 raízes reais (Rolle).
  2. Polinômio sem pontos críticos. Para cada grau ímpar m podemos tomar H(x)=x^m + x, cuja derivada H'(x)= m,x^m-1 + 1 é sempre positiva (pois m-1 é par), logo não tem zeros reais.
Com esses ingredientes, construiremos explicitamente f em cada caso.

Passo 2

(a) Queremos deg f=n e #x:f'(x)=0=n-1. Basta escolher n raízes reais distintas a1<cdots<an e definir
f(x) = (x-a1),(x-a2)cdots(x-an)
Então por Rolle, entre cada par ai,ai+1 há pelo menos uma raiz de f', totalizando exatamente n-1 zeros simples de f'.

Passo 3

(b) Se n é ímpar, tome
f(x) ;=; x^n + x
Como n-1 é par,
f'(x) ;=; n,x^n-1 + 1 ;>=;1 >0
para todo x. Logo f' não se anula em R.

Passo 4

(c) Se n é par, use o mesmo
f(x)=x^n + x,
então n-1 é ímpar e
f'(x)=n,x^n-1+1
é uma função contínua de grau ímpar, com limxto-inftyf'(x)=-infty e limxto+inftyf'(x)=+infty. Por se tratar de um polinômio de grau ímpar monótono de cada lado, f' cruza o zero exatamente uma vez.

Passo 5

(d) Seja k tal que n-k é ímpar. Defina
k raízes reais distintas a1<cdots<ak, P(x)=prodi=1^k(x-ai), í
e tome m=n-k ímpar. Seja
H(x)=x^m + x,
cuja derivada nunca se anula. Finalmente ponha
f(x)=H(x),P(x)
Então deg f=m+k=n e
f'(x)=H'(x),P(x) + H(x),P'(x)
Observe:
  1. H'(x)>0 sempre, e P(ai)=0 com P'(ai)neq0, logo
    f'(ai)=H(ai),P'(ai)neq0.
  2. Como m é ímpar, deg f'=n-1 é par e o termo principal é positivo, temos
    limxtopminftyf'(x)=+infty.
  3. Nos pontos a1,dots,ak, os sinais de P'(ai) alternam (por serem raízes simples), e H(ai)neq0. Assim f' muda de sinal em cada ai.
Pelo teorema do valor intermediário, em cada intervalo (ai,ai+1) existe pelo menos uma raiz de f', totalizando k-1 raízes nessas regiões. Além disso, como f'(pminfty)>0 e f'(a1) e f'(ak) têm sinal negativo em uma extremidade e positivo na outra, aparecem mais dois zeros, um em (-infty,a1) e outro em (ak,+infty)? Não: como deg f' é par, não há troca de sinal nas “pontas” de R, então não surgem zeros extras. Portanto, f' tem exatamente k raízes reais.

Resposta

Em cada caso (a)–(d) foi exibida uma construção de f de grau n cuja derivada tem exatamente o número de zeros reais pedido.

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