Em qual direção a função
cresce mais rapidamente no ponto
? em qual direção decresce mais rapidamente?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no ponto (1,2), em qual direção a função
cresce mais rapidamente e em qual direção ela decresce mais rapidamente. O que vamos usar é o conceito de gradiente, que reúne as derivadas parciais de uma função de duas variáveis e aponta a direção de maior aumento de
.
Passo 2
Para aplicar isso, precisamos lembrar que o gradiente de
é definido por
. As derivadas parciais representam a taxa de variação de
quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Vamos calculá-las:
A função é . Portanto,
A função é
Essas expressões dizem como
Passo 3
Agora, substituímos
nessas derivadas para obter o gradiente naquele ponto:
Logo,
O vetor gradiente
aponta na direção de maior crescimento. Para ter um vetor de direção (unitário), calculamos sua norma e dividimos:
Passo 4
A direção de decrescimento mais rápido é a direção oposta ao gradiente, ou seja,
Resposta
A direção de máximo crescimento em (1,2) é o vetor unitário
e a direção de decrescimento mais rápido é
.