Em qual direção a função f(x, y)=x y^2+x^3 y cresce mais rapidamente no ponto (1,2) ? em qual direção decresce mais rapidamente?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no ponto (1,2), em qual direção a função f(x,y)=x y^2 + x^3 y cresce mais rapidamente e em qual direção ela decresce mais rapidamente. O que vamos usar é o conceito de gradiente, que reúne as derivadas parciais de uma função de duas variáveis e aponta a direção de maior aumento de f.

Passo 2

Para aplicar isso, precisamos lembrar que o gradiente de f é definido por nabla f = l(partial f/partial x,;partial f/partial yr). As derivadas parciais representam a taxa de variação de f quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Vamos calculá-las:
A função é f(x,y)=x y^2 + x^3 y. Portanto,
partial fpartial x = y^2 + 3x^2y
partial fpartial y = 2xy + x^3
Essas expressões dizem como f muda quando mexemos em x ou em y isoladamente.

Passo 3

Agora, substituímos (x,y)=(1,2) nessas derivadas para obter o gradiente naquele ponto:
partial fpartial x(1,2) = 2^2 + 3cdot1^2cdot2 = 4 + 6 = 10
partial fpartial y(1,2) = 2cdot1cdot2 + 1^3 = 4 + 1 = 5
Logo,
nabla f(1,2) = (10,,5)
O vetor gradiente (10,5) aponta na direção de maior crescimento. Para ter um vetor de direção (unitário), calculamos sua norma e dividimos:
|nabla f(1,2)| = raiz10^2 + 5^2 = raiz125 = 5raiz5
Direção de máximo crescimento = 15raiz5(10,5) = l(2raiz5,;1raiz5r)çãá

Passo 4

A direção de decrescimento mais rápido é a direção oposta ao gradiente, ou seja,
l(-2raiz5,;-1raiz5r)

Resposta

A direção de máximo crescimento em (1,2) é o vetor unitário l(2/raiz5,;1/raiz5r) e a direção de decrescimento mais rápido é l(-2/raiz5,;-1/raiz5r).

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