A temperatura T de um sólido está dada pela função T(x, y, z)=e^-x+e^-2 y+e^4 z, onde x, y, z são as coordenadas espaciais relativas ao centro do solido. Em que direção desde o ponto (1,1,1) decrescerá mais rapidamente a temperatura?

Passo 1

A questão pede a direção em que a temperatura decresce mais rápido no ponto (1,1,1). Isso é um problema de derivadas parciais e gradiente: a direção de máximo decrescimento de uma função é dada pelo vetor negativo do seu gradiente naquele ponto.

Passo 2

Para achar o gradiente de T(x,y,z)=e{-x}+e{-2y}+e^{4z}, lembramos que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
nabla T(x,y,z)=gl(partial Tpartial x,,partial Tpartial y,,partial Tpartial zgr)

Passo 3

Calculando cada componente:
partial Tpartial x=-e^-x,
partial Tpartial y=-2e^-2y,
partial Tpartial z=4e^4z

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,1,1):
nabla T(1,1,1)=(-e^-1,,-2e^-2,,4e^4)

Passo 5

A direção de máximo decrescimento é o vetor negativo desse gradiente:
-v = -nabla T(1,1,1)=(e^-1,,2e^-2,,-4e^4)

Passo 6

Para ter um vetor direção propriamente dito, normalizamos esse vetor, dividindo pelo seu módulo. O módulo é
|v|=raiz(e^-1)^2+(2e^-2)^2+(-4e^4)^2 =raize^-2+4e^-4+16e^8
Logo, a direção unitária de decrescimento mais rápido é
u=1raize^-2+4e^-4+16e^8,(e^-1,,2e^-2,,-4e^4)

Resposta

A direção em que T decresce mais rapidamente em (1,1,1) é o vetor unitário
u=1raize^-2+4e^-4+16e^8,(e^-1,,2e^-2,,-4e^4)

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