A temperatura
de um sólido está dada pela função
, onde
são as coordenadas espaciais relativas ao centro do solido. Em que direção desde o ponto
decrescerá mais rapidamente a temperatura?
Passo 1
A questão pede a direção em que a temperatura decresce mais rápido no ponto (1,1,1). Isso é um problema de derivadas parciais e gradiente: a direção de máximo decrescimento de uma função é dada pelo vetor negativo do seu gradiente naquele ponto.
Passo 2
Para achar o gradiente de T(x,y,z)=e{-x}+e{-2y}+e^{4z}, lembramos que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Passo 3
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,1,1):
Passo 5
A direção de máximo decrescimento é o vetor negativo desse gradiente:
Passo 6
Para ter um vetor direção propriamente dito, normalizamos esse vetor, dividindo pelo seu módulo. O módulo é
Logo, a direção unitária de decrescimento mais rápido é
Resposta
A direção em que T decresce mais rapidamente em (1,1,1) é o vetor unitário