Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0^circ para todo t>0. Em cada um dos problemas de 9 a 12 , encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que alpha^2=1.
© u(x, 0)=l0, se, 0 <= x <= 10 50, se, 10 <= x <= 30 0, se, 30
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Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor alpha^2 ux x=ut, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.

Passo 1

Temos uma barra de comprimento L=40 cm com extremidades mantidas a u(0,t)=u(40,t)=0 para todo t>0. A equação do calor é ut=alpha^2uxx com alpha^2=1 e a condição inicial é a função peça f(x)=u(x,0)=0 em [0,10]cup[30,40] e f(x)=50 em [10,30]. Vamos achar u(x,t).

Passo 2

Usando separação de variáveis, escrevemos a solução como série de senos:
u(x,t)=sumn=1^inftyAnsinl(npi xLr)expl(-l(npiLr)^2tr)
onde L=40.

Passo 3

Para determinar os coeficientes An, impomos u(x,0)=f(x) e usamos a fórmula do desenvolvimento em série de Fourier em senos:
An=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi xLr),dx
Como f(x)=0 fora de [10,30], só integramos de 10 a 30.

Passo 4

Calculando o integral:
An=240integral10^3050sinl(npi x40r)dx =10040l[-40npicosl(npi x40r)r]10^30 =100npil[cosl(tfracnpi4r)-cosl(tfrac3npi4r)r]

Passo 5

Logo, a solução fica:
u(x,t)=sumn=1^infty100npil[cosl(tfracnpi4r)-cosl(tfrac3npi4r)r]sinl(tfracnpi x40r)expl(-l(tfracnpi40r)^2tr)

Resposta

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n\pi}\Bigl[\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{4}\Bigr)-\cos\Bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\Bigr)\Bigr]\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\Bigr)\exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{40}\bigr)^2t\Bigr).
$$

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