Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12 , encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
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Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor
alpha^2 ux x=ut , que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
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Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor
Passo 1
Temos uma barra de comprimento
L=40 cm com extremidades mantidas a
u(0,t)=u(40,t)=0 para todo
t>0 . A equação do calor é
ut=alpha^2uxx com
alpha^2=1 e a condição inicial é a função peça
f(x)=u(x,0)=0 em
[0,10]cup[30,40] e
f(x)=50 em
[10,30] . Vamos achar
u(x,t) .
Passo 2
Usando separação de variáveis, escrevemos a solução como série de senos:
onde
L=40 .
Passo 3
Para determinar os coeficientes
An , impomos
u(x,0)=f(x) e usamos a fórmula do desenvolvimento em série de Fourier em senos:
Como
f(x)=0 fora de
[10,30] , só integramos de 10 a 30.
Passo 4
Calculando o integral:
Passo 5
Logo, a solução fica:
Resposta
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n\pi}\Bigl[\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{4}\Bigr)-\cos\Bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\Bigr)\Bigr]\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\Bigr)\exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{40}\bigr)^2t\Bigr).
$$