O disco com a canaleta circular gira em torno do eixo vertical com uma rotação constante e suporta as duas esferas de 4 kg . Determine a rotação dottheta em rad/s e posteriormente em RPM عuja as esferas são lançadas para fora do disco.
Obs: v=dottheta R
Onde R= raio

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um disco com eixo vertical está girando a uma velocidade constante e dentro dele temos duas esferas de 4 kg encaixadas numa canaleta circular. Queremos descobrir a velocidade angular (em rad/s) e depois converter pra RPM no instante em que as esferas começam a ser “lançadas” pra fora da canaleta. O conteúdo aqui é Dinâmica em movimento circular – em especial a ideia de força centrípeta e de atrito que prende a esfera na canaleta.

Passo 2

Antes de mais nada, qual é o motivo das esferas ficarem “presas” na canaleta?
  • A cada momento elas tendem a escapar pra fora por causa da força centrífuga (inércia).
  • Quem segura de fato é a força de atrito estático entre as faces da canaleta e a esfera.
  • No limite, quando essa força de atrito máxima for vencida, a esfera escapa.
Teoria rápida do atrito estático:
a) A força de atrito estático máxima vale
Fat,max = mus , N
onde N = m ,dottheta^2,R é o coeficiente de atrito estático e é a normal entre esfera e canaleta.
b) Para uma esfera presa lateralmente pela canaleta, a normal é exatamente a força centrípeta exigida pelo movimento circular:
onde
é a massa da esfera,
é o raio da canaleta,
é a velocidade angular.

Passo 3

No instante em que ela vai “lançar” pra fora, a força de atrito máxima foi totalmente usada pra equilibrar a tendência de escape. Logo:
Fat,max = mus,N = m,dottheta^2,R
Isolando mus,(m,dottheta^2,R) = m,dottheta^2,R Longrightarrow dottheta^2 = mus,Nm,R :
mus,N = m,dottheta^2,R Longrightarrow mus,(m,dottheta^2,R) = m,dottheta^2,R
Mas cuidado: o aqui já é . Na verdade o equilíbrio é
Percebe que em geral precisamos do e do para resolver.

Passo 4

Como o enunciado não dá nem dottheta = raizmus,gR nem , a gente só consegue chegar à expressão geral:
Aqui “ ” aparece porque a normal vertical que sustenta a esfera é , e o atrito estático máximo é .

Resposta

Sem os valores de boxeddottheta = raizdfracmus,gR(rad/s) longrightarrow n = 602pi,dottheta = 30piraizmus,gR(RPM) (coeficiente de atrito estático) e de (raio da canaleta) não dá pra calcular um valor numérico de . O que conseguimos é a fórmula em função de parâmetros:

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