Um disco circular de borracha tem raio e área iguais a R_{0} e A_{0} respectivamente. Qual é a altērnativa que mais se aproxima da variação de temperatura \Delta T necessária para aumentar a área do disco em 1 \% \mathrm{em} um aquecimento? Considere o coeficiente de dilatação do material igual a \alpha= 10^{-4} \mathrm{~K}^{-1}, e, se necessário, utilize \sqrt{1,01} \approx 1,005, e (1+x)^{n} \approx 1+n x para |x| \ll 1.
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de borracha com raio e área iniciais iguais a R_{0} e A_{0}, respectivamente. Pede-se a variação de temperatura \Delta T necessária para aumentar a área do disco em 1\% durante um aquecimento. Informações fornecidas e relevantes:
  • Coeficiente de dilatação linear do material: \alpha = 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • Aumento de área desejado: \dfrac{\Delta A}{A_{0}} = 0{,}01 (isto é, 1\%).
  • Aproximações permitidas: \sqrt{1{,}01}\approx 1{,}005 e (1+x)^{n}\approx 1+n x para |x|\ll 1.
    Nada mais será assumido; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar): o coeficiente de dilatação linear \alpha relaciona a variação relativa de um comprimento com a variação de temperatura. Se um comprimento inicial é L_{0}, após um aquecimento \Delta T o novo comprimento L é
L = L_{0}\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde \alpha\,\Delta T é a fração de aumento do comprimento. Aqui aplicamos isso ao raio: o novo raio será
R = R_{0}\,(1+\alpha\,\Delta T).
Explicando as variáveis: R_{0} é o raio inicial, \alpha mede quanto cada unidade de comprimento cresce por grau, e \Delta T é o que queremos achar.

Passo 3

Agora escrevemos a área em função do raio. A área de um círculo é A=\pi R^{2}. Substituindo o novo raio,
A = \pi \, R^{2} = \pi \, R_{0}^{2}\,(1+\alpha\,\Delta T)^{2} = A_{0}\,(1+\alpha\,\Delta T)^{2}.
Portanto a razão entre a nova área e a área inicial é (1+\alpha\,\Delta T)^{2}.

Passo 4

Usamos a aproximação para pequena variação: como \alpha é pequeno ( 10^{-4}) e \Delta T não será enorme, o produto \alpha\,\Delta T é pequeno e vale aproximar
(1+\alpha\,\Delta T)^{2} \approx 1 + 2\alpha\,\Delta T,
que vem diretamente de (1+x)^{n}\approx 1+n x com n=2 e x=\alpha\Delta T. Isso simplifica muito os cálculos e é válido aqui.

Passo 5

Impondo o aumento de área pedido: queremos A = 1{,}01\,A_{0}. Usando a aproximação do passo anterior,
1{,}01 = 1 + 2\alpha\,\Delta T.
Isolando \Delta T,
2\alpha\,\Delta T = 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \dfrac{0{,}01}{2\alpha}.
Substituindo \alpha = 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1},
\Delta T = \dfrac{0{,}01}{2\cdot 10^{-4}} = \dfrac{1\times 10^{-2}}{2\times 10^{-4}} = \dfrac{1}{2}\times 10^{2} = 50\\ \mathrm{K}.
Mostrei as contas passo a passo para que você possa reproduzir sem calculadora: transformar 0{,}01 em 10^{-2} e 2\cdot10^{-4} facilita a divisão.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma ideia, outra visão): como A\propto R^{2}, para aumentar A em 1\% o raio deve aumentar por um fator \sqrt{1{,}01}\approx 1{,}005 (dado no enunciado). Então
1+\alpha\,\Delta T \approx 1{,}005 \quad\Rightarrow\quad \alpha\,\Delta T \approx 0{,}005,
logo
\Delta T \approx \dfrac{0{,}005}{10^{-4}} = 50\\ \mathrm{K},
confirmando o resultado anterior. Duas maneiras, mesmo resultado — boa sinalização de que a resposta está correta.

Resposta

(d) 50\\ \mathrm{K}

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