Um disco circular de borracha tem raio e área iguais a
e
respectivamente. Qual é a altērnativa que mais se aproxima da variação de temperatura
necessária para aumentar a área do disco em
um aquecimento? Considere o coeficiente de dilatação do material igual a
, e, se necessário, utilize
, e
para
.
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de borracha com raio e área iniciais iguais a
e
, respectivamente. Pede-se a variação de temperatura
necessária para aumentar a área do disco em
durante um aquecimento. Informações fornecidas e relevantes:
- Coeficiente de dilatação linear do material:
. - Aumento de área desejado:
(isto é, ). - Aproximações permitidas:
e para .
Nada mais será assumido; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar): o coeficiente de dilatação linear
relaciona a variação relativa de um comprimento com a variação de temperatura. Se um comprimento inicial é
, após um aquecimento
o novo comprimento
é
onde
é a fração de aumento do comprimento. Aqui aplicamos isso ao raio: o novo raio será
Explicando as variáveis:
é o raio inicial,
mede quanto cada unidade de comprimento cresce por grau, e
é o que queremos achar.
Passo 3
Agora escrevemos a área em função do raio. A área de um círculo é
. Substituindo o novo raio,
Portanto a razão entre a nova área e a área inicial é
.
Passo 4
Usamos a aproximação para pequena variação: como
é pequeno (
) e
não será enorme, o produto
é pequeno e vale aproximar
que vem diretamente de
com
e
. Isso simplifica muito os cálculos e é válido aqui.
Passo 5
Impondo o aumento de área pedido: queremos
. Usando a aproximação do passo anterior,
Isolando
,
Substituindo
,
Mostrei as contas passo a passo para que você possa reproduzir sem calculadora: transformar
em
e
facilita a divisão.
Passo 6
Checagem alternativa (mesma ideia, outra visão): como
, para aumentar
em
o raio deve aumentar por um fator
(dado no enunciado). Então
logo
confirmando o resultado anterior. Duas maneiras, mesmo resultado — boa sinalização de que a resposta está correta.
Resposta
(d)