Um sistema realiza um ciclo quase estático (reversível) interagindo com três reservatórios térmicos a temperaturas
,
e
. Suponha que o sistema absorva
do reservatório 1 e
do reservatório 3. Qual o trabalho realizado pelo sistema durante o ciclo?
(a) -40 J
(b) 40 J
(c) -80 J
(d) 80 J
(e) -160 J
(f) 160 J
(g) 0 J
(a) -40 J
(b) 40 J
(c) -80 J
(d) 80 J
(e) -160 J
(f) 160 J
(g) 0 J
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o trabalho realizado pelo sistema durante o ciclo.
- Temperaturas dos reservatórios:
, (desconhecida) e . - Calores trocados (assumindo a convenção: calor absorvido pelo sistema > 0):
(absorvido do reservatório 1) e (absorvido do reservatório 3). O calor trocado com o reservatório 2 é desconhecido; chamo-o de . - O ciclo é quase estático (reversível) e completo, portanto o sistema volta ao estado inicial ao final do ciclo.
Pergunta a responder: qual é o trabalho
realizado pelo sistema durante o ciclo?
Passo 2
Lembrete importante (Primeira Lei da Termodinâmica para ciclo): num ciclo completo a energia interna retorna ao valor inicial, logo a variação de energia interna
. Assim, a soma dos calores trocados é igual ao trabalho realizado pelo sistema:
Aqui
é o trabalho realizado pelo sistema (convenção usual: positivo quando o sistema realiza trabalho).
Explicação didática: pense assim — num ciclo o sistema não guarda energia (voltou ao estado inicial), então tudo que entrou em forma de calor acabou saindo em forma de trabalho ou calor para outros reservatórios. A soma algébrica dos calores é exatamente o trabalho líquido.
Passo 3
Lembrete importante (Segunda Lei para processo reversível / igualdade de Clausius): para um ciclo reversível a soma das trocas de calor divididas pelas respectivas temperaturas dos reservatórios é zero:
Explicação didática: para um processo reversível o incremento de entropia total (sistema + reservatórios) é zero. Cada troca de calor com um reservatório de temperatura
muda a entropia do reservatório em
, e a soma deve se anular. Assim usamos essa igualdade para relacionar os calores.
Passo 4
Aplicamos a igualdade de Clausius com os valores conhecidos:
Calculemos as frações numéricas:
Somando:
Logo
Isolando
:
Explicação didática: o sinal negativo indica que
, ou seja, o sistema libera calor para o reservatório 2 (faz sentido: ele absorveu calores positivos de 1 e 3, então deve rejeitar calor para algum outro reservatório para satisfazer entropia zero).
Passo 5
Agora voltamos à Primeira Lei para obter o trabalho:
Substituindo a expressão de
:
Explicação didática: esse resultado expressa o trabalho realizado em termos da temperatura do segundo reservatório. Repare que, sem saber
, não temos um valor numérico único para
.
Passo 6
Interpretação final e observação prática:
- O trabalho depende de
pela relação . - Como o enunciado não dá um valor numérico para
, não é possível determinar um único valor numérico para apenas com os dados fornecidos. - Para exemplo: se
então (opção g); se então (opção a); e assim por diante — cada escolha de dá uma opção diferente da lista.
Motivação final e incentivo: ficou um pouco ambíguo porque falta
, mas agora você tem a fórmula fechada — com isso, na prova, se derem
você resolve na hora. Vai dar certo!