(D) Um disco circular isolante e fino, de raio
, tem uma densidade superficial de carga dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao centro do disco.
(a) Determine a carga total contida no disco.
(b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância
do mesmo.
Sugestão: divida o disco em aneis infinitesimais concêntricos e use o resultado obtido em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?).
© Considere agora que este ponto está muito longe do disco, de forma que
. Determine uma expressão assintótica para o resultado do item anterior neste limite e interprete o resultado.
Dado (verifique!):
(a) Determine a carga total contida no disco.
(b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância
© Considere agora que este ponto está muito longe do disco, de forma que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um disco isolante fino de raio
com densidade superficial de carga
onde
é constante e
é a distância do centro. Aí o exercício pede:
(a) carga total do disco;
(b) campo elétrico num ponto do eixo a uma distância do centro;
© para , achar o comportamento assintótico e interpretar.
O conteúdo é Eletrostática com distribuição contínua de carga: vamos usar integração em coordenadas polares, decompor o disco em anéis infinitesimais e aplicar a fórmula do campo de um anel uniformemente carregado, além da integral
(a) carga total do disco;
(b) campo elétrico num ponto do eixo a uma distância
© para
O conteúdo é Eletrostática com distribuição contínua de carga: vamos usar integração em coordenadas polares, decompor o disco em anéis infinitesimais e aplicar a fórmula do campo de um anel uniformemente carregado, além da integral
Passo 2
(a) Carga total
.
Em coordenadas polares , logo
Em coordenadas polares
Prontinho,
.
Passo 3
(b) Campo no eixo a uma distância
.
– A ideia: cortar o disco em anéis de raio e largura
.
– Cada anel tem carga .
– O campo de um anel uniformemente carregado, no ponto do eixo a distância , vale
– A ideia: cortar o disco em anéis de raio
– Cada anel tem carga
– O campo de um anel uniformemente carregado, no ponto do eixo a distância
sempre apontando para cima (eixo
).
Substituindo
Substituindo
Integramos de
a
:
usando
,
temos
temos
Logo
Passo 4
© Para
E(z)approxsigma0R^22varepsilon0;1zcdot z =sigma0R^22varepsilon0,z^2 , temos
E(z)approxQ4pivarepsilon0,z^2, , então
Mas lembrando que
, dá
que é exatamente o campo de uma carga pontual
vista de longe. Isso mostra que, bem distante, o disco se comporta como uma carga pontual igual à carga total.
Resposta
(a)
(b)
© Para ,
isto é, mesmo resultado de uma carga pontual .
(b)
© Para
isto é, mesmo resultado de uma carga pontual