(D) Um disco circular isolante e fino, de raio R, tem uma densidade superficial de carga dada por sigma(r)=sigma0(R / r), onde sigma0 é uma constante positiva e r é a distância ao centro do disco.
(a) Determine a carga total contida no disco.
(b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância z do mesmo.
Sugestão: divida o disco em aneis infinitesimais concêntricos e use o resultado obtido em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?).
© Considere agora que este ponto está muito longe do disco, de forma que z gg R. Determine uma expressão assintótica para o resultado do item anterior neste limite e interprete o resultado.
Dado (verifique!):
integral d x(x^2+a^2)^3 / 2=xa^2 raizx^2+a^2+ ext const

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um disco isolante fino de raio sigma(r)=sigma0,Rr, com densidade superficial de carga
integraldx(x^2+a^2)^3/2 =xa^2raizx^2+a^2+const
onde é constante e é a distância do centro. Aí o exercício pede:
(a) carga total do disco;
(b) campo elétrico num ponto do eixo a uma distância do centro;
© para , achar o comportamento assintótico e interpretar.
O conteúdo é Eletrostática com distribuição contínua de carga: vamos usar integração em coordenadas polares, decompor o disco em anéis infinitesimais e aplicar a fórmula do campo de um anel uniformemente carregado, além da integral

Passo 2

(a) Carga total Q=integral0^Rsigma0Rr,2pi r,dr =2pisigma0Rintegral0^Rdr =2pisigma0R;R =2pisigma0R^2 .
Em coordenadas polares , logo
Prontinho, .

Passo 3

(b) Campo no eixo a uma distância dE =14pivarepsilon0,dQ;zl(z^2+r^2r)^3/2, .
– A ideia: cortar o disco em anéis de raio dE =14pivarepsilon0,sigma0R,2pi,dr;z(z^2+r^2)^3/2 =sigma0R,z2varepsilon0,dr(z^2+r^2)^3/2 e largura E(z) =sigma0R,z2varepsilon0integral0^Rdr(z^2+r^2)^3/2 .
– Cada anel tem carga integral0^Rdr(z^2+r^2)^3/2 =Rz^2raizR^2+z^2 -underbrace0r=0 =Rz^2raizR^2+z^2 .
– O campo de um anel uniformemente carregado, no ponto do eixo a distância E(z) =sigma0R,z2varepsilon0; Rz^2raizR^2+z^2 =sigma0R^22varepsilon0;1zraizR^2+z^2 hat z , vale
sempre apontando para cima (eixo ).
Substituindo
Integramos de a :
usando
,
temos
Logo

Passo 4

© Para E(z)approxsigma0R^22varepsilon0;1zcdot z =sigma0R^22varepsilon0,z^2 , temos E(z)approxQ4pivarepsilon0,z^2, , então
Mas lembrando que , dá
que é exatamente o campo de uma carga pontual vista de longe. Isso mostra que, bem distante, o disco se comporta como uma carga pontual igual à carga total.

Resposta

(a)
(b)
© Para ,

isto é, mesmo resultado de uma carga pontual .

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