Um disco circular de raio a possui uma densidade superficial \sigma dada por \sigma= \sigma_{0} \sin \varphi. Calcule o campo elétrico num ponto do eixo vertical que passa pelo centro do disco.
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de raio a com densidade superficial \sigma dada por \sigma=\sigma_{0}\sin\varphi. Pede-se o campo elétrico num ponto do eixo vertical que passa pelo centro do disco.
Informações e o que é pedido, explicitamente:
Raio do disco: a.
Densidade superficial: \sigma(\,r,\varphi)=\sigma_{0}\sin\varphi (função do ângulo polar \varphi no plano do disco).
Ponto onde calcular o campo: um ponto sobre o eixo perpendicular ao plano do disco que passa pelo centro; chamarei a distância desse ponto ao plano do disco de z (ponto em (0,0,z)). Não foi dito se z>0 ou z<0; farei a expressão para z\neq0 e comentarei o sinal quando necessário.
O que precisamos encontrar: o vetor campo elétrico \mathbf{E} em (0,0,z) produzido por essa distribuição de carga.
Passo 2
Escolha de coordenadas e elementos diferenciais (isso facilita montar a integral):
Uso coordenadas cilíndricas/polares no plano do disco: um ponto do disco tem coordenadas (r,\varphi) com 0\le r\le a e 0\le\varphi<2\pi. As coordenadas cartesianas são x=r\cos\varphi,\;y=r\sin\varphi.
Elemento de área do disco: \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
Carga do elemento: \mathrm{d}q=\sigma(\,r,\varphi)\,\mathrm{d}A=\sigma_{0}\sin\varphi\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
Lei de Coulomb para elemento de carga: o campo diferencial no ponto (0,0,z) é
Agora integro \varphi de 0 a 2\pi (a integral em r fica para depois). Usarei integrais trigonométricas padrão:
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi=0. Logo a contribuição para E_{z} (proporcional a \sin\varphi) se anula após a integração em \varphi.
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi=0. Logo E_{x}=0.
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\pi. Assim a componente y não se anula e fica:
Portanto o campo resultante aponta ao longo do eixo \hat{\mathbf{y}} (com sinal negativo), ou seja, para -\hat{\mathbf{y}}. As outras componentes são nulas: E_{x}=0 e E_{z}=0. Agora falta calcular a integral em r.
Para z>0 pode-se remover o valor absoluto e escrever \lvert z\rvert=z. O resultado mostra que o campo no eixo é puramente horizontal (no plano do disco), apontando na direção -\hat{\mathbf{y}} se a densidade foi \sigma_{0}\sin\varphi com \varphi medido a partir de x-axis (isto é, densidade positiva no semi-eixo +y). Uma explicação física rápida: a dependência angular quebra a simetria rotacional, fazendo cancelar as componentes radial e axial, sobrando uma componente ao longo do eixo correspondente à direção da variação \sin\varphi.