Um disco circular de raio a possui uma densidade superficial \sigma dada por \sigma= \sigma_{0} \sin \varphi. Calcule o campo elétrico num ponto do eixo vertical que passa pelo centro do disco.

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de raio a com densidade superficial \sigma dada por \sigma=\sigma_{0}\sin\varphi. Pede-se o campo elétrico num ponto do eixo vertical que passa pelo centro do disco.
Informações e o que é pedido, explicitamente:
  • Raio do disco: a.
  • Densidade superficial: \sigma(\,r,\varphi)=\sigma_{0}\sin\varphi (função do ângulo polar \varphi no plano do disco).
  • Ponto onde calcular o campo: um ponto sobre o eixo perpendicular ao plano do disco que passa pelo centro; chamarei a distância desse ponto ao plano do disco de z (ponto em (0,0,z)). Não foi dito se z>0 ou z<0; farei a expressão para z\neq0 e comentarei o sinal quando necessário.
  • O que precisamos encontrar: o vetor campo elétrico \mathbf{E} em (0,0,z) produzido por essa distribuição de carga.

Passo 2

Escolha de coordenadas e elementos diferenciais (isso facilita montar a integral):
  • Uso coordenadas cilíndricas/polares no plano do disco: um ponto do disco tem coordenadas (r,\varphi) com 0\le r\le a e 0\le\varphi<2\pi. As coordenadas cartesianas são x=r\cos\varphi,\;y=r\sin\varphi.
  • Elemento de área do disco: \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
  • Carga do elemento: \mathrm{d}q=\sigma(\,r,\varphi)\,\mathrm{d}A=\sigma_{0}\sin\varphi\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
  • Lei de Coulomb para elemento de carga: o campo diferencial no ponto (0,0,z) é
\mathrm{d}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q\;\mathbf{R}}{R^{3}},
onde \mathbf{R} é o vetor do elemento até o ponto e R=\lVert\mathbf{R}\rVert.

Passo 3

Escrever \mathbf{R} e os componentes de \mathrm{d}\mathbf{E}:
  • Do elemento localizado em (r,\varphi,0) até o ponto (0,0,z) o vetor é
\mathbf{R}=(-r\cos\varphi)\,\hat{\mathbf{x}}+(-r\sin\varphi)\,\hat{\mathbf{y}}+z\,\hat{\mathbf{z}}.
  • O módulo é R=\sqrt{r^{2}+z^{2}}.
  • Substituindo em Coulomb e em \mathrm{d}q,
\mathrm{d}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\sigma_{0}\sin\varphi\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\bigl(-r\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}-r\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}+z\,\hat{\mathbf{z}}\bigr).

Passo 4

Analisar componentes e integrar sobre \varphi:
Escrevo as componentes escalares diferenciais:
\mathrm{d}E_{x}=-\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{r^{2}\sin\varphi\cos\varphi}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi,
\mathrm{d}E_{y}=-\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{r^{2}\sin^{2}\varphi}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi,
\mathrm{d}E_{z}=\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{r\,z\sin\varphi}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
Agora integro \varphi de 0 a 2\pi (a integral em r fica para depois). Usarei integrais trigonométricas padrão:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi=0. Logo a contribuição para E_{z} (proporcional a \sin\varphi) se anula após a integração em \varphi.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi=0. Logo E_{x}=0.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\pi. Assim a componente y não se anula e fica:
E_{y}=-\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a}\int_{0}^{2\pi}\frac{r^{2}\sin^{2}\varphi}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r =-\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a}\frac{r^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\biggl(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi\biggr)\mathrm{d}r.
Substituindo \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\pi,
E_{y}=-\frac{\sigma_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\pi\int_{0}^{a}\frac{r^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r =-\frac{\sigma_{0}}{4\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a}\frac{r^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r.
Portanto o campo resultante aponta ao longo do eixo \hat{\mathbf{y}} (com sinal negativo), ou seja, para -\hat{\mathbf{y}}. As outras componentes são nulas: E_{x}=0 e E_{z}=0. Agora falta calcular a integral em r.

Passo 5

Calcular a integral radial
I(z)=\int_{0}^{a}\frac{r^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r.
Fácil manipulação: escrevo r^{2}=(r^{2}+z^{2})-z^{2}, então
\frac{r^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}-\frac{z^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Note que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(\frac{r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\right)=\frac{z^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Portanto
I(z)=\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\,\mathrm{d}r-\int_{0}^{a}\frac{z^{2}}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}r.
A segunda integral é diretamente \left.\dfrac{r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\right|_{0}^{a}. A primeira integral é conhecida:
\int\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}=\ln\!\bigl(r+\sqrt{r^{2}+z^{2}}\bigr)+C.
Assim, avaliando de 0 a a,
I(z)=\Bigl[\ln\!\bigl(r+\sqrt{r^{2}+z^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{a}-\Bigl[\frac{r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\Bigr]_{0}^{a}.
Calculando os limites:
\Bigl[\ln\!\bigl(r+\sqrt{r^{2}+z^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{a}=\ln\!\bigl(a+\sqrt{a^{2}+z^{2}}\bigr)-\ln\!\lvert z\rvert,
\Bigl[\frac{r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\Bigr]_{0}^{a}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}-0.
Logo
I(z)=\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{\lvert z\rvert}\right)-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.

Passo 6

Montar o campo final usando o resultado de I(z). Lembrando que
E_{y}=-\frac{\sigma_{0}}{4\varepsilon_{0}}\,I(z), \qquad E_{x}=0,\qquad E_{z}=0,
obtém-se o vetor campo
\mathbf{E}(0,0,z)=-\hat{\mathbf{y}}\;\frac{\sigma_{0}}{4\varepsilon_{0}}\left[\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{\lvert z\rvert}\right)-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}\right].
Para z>0 pode-se remover o valor absoluto e escrever \lvert z\rvert=z. O resultado mostra que o campo no eixo é puramente horizontal (no plano do disco), apontando na direção -\hat{\mathbf{y}} se a densidade foi \sigma_{0}\sin\varphi com \varphi medido a partir de x-axis (isto é, densidade positiva no semi-eixo +y). Uma explicação física rápida: a dependência angular quebra a simetria rotacional, fazendo cancelar as componentes radial e axial, sobrando uma componente ao longo do eixo correspondente à direção da variação \sin\varphi.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,z)=-\hat{\mathbf{y}}\;\frac{\sigma_{0}}{4\varepsilon_{0}}\left[\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+z^{2}}}{\lvert z\rvert}\right)-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}\right].

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