Se D ê un disco dado por x^2+y^2 <= 4, então
integralD integral raiz4-x^2-y^2 d A=16 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco $ D $ definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e precisamos calcular a integral dupla $ \int_{D} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} , dA $. Esse problema envolve geometria analítica e cálculo integral, especialmente usando coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A equação $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ descreve um círculo com raio $ 2 $ centrado na origem. Então, nosso domínio $ D $ é esse disco de raio $ 2 $.

Passo 3

Agora, para calcular a integral, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área $ dA $ vira $ r , dr , d\theta $. Além disso, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, então nossa integral fica mais fácil de resolver.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integralD raiz4 - x^2 - y^2 , dA = integral0^2pi integral0^2 raiz4 - r^2 , r , dr , dtheta
Aqui, $ r $ varia de $ 0 $ a $ 2 $ (raio do disco) e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 r raiz4 - r^2 , dr
Para isso, fazemos uma substituição $ u = 4 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $ ou $ -\frac{1}{2} du = r , dr $. Alteramos os limites:
  • Quando $ r = 0 $, $ u = 4 $
  • Quando $ r = 2 $, $ u = 0 $
A integral fica:
u = 4 - r^2
Integrando $ \sqrt{u} $:
du = -2r , dr

Passo 6

Agora, voltamos à integral em $ \theta $:
theta

Resposta

Portanto, a integral dupla $ \int_{D} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} , dA $ é igual a $ \frac{16\pi}{3} $.

Exercícios relacionados