Se
ê un disco dado por
, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco $ D $ definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e precisamos calcular a integral dupla $ \int_{D} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} , dA $. Esse problema envolve geometria analítica e cálculo integral, especialmente usando coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A equação $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ descreve um círculo com raio $ 2 $ centrado na origem. Então, nosso domínio $ D $ é esse disco de raio $ 2 $.
Passo 3
Agora, para calcular a integral, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área $ dA $ vira $ r , dr , d\theta $. Além disso, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, então nossa integral fica mais fácil de resolver.
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, $ r $ varia de $ 0 $ a $ 2 $ (raio do disco) e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Para isso, fazemos uma substituição $ u = 4 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $ ou $ -\frac{1}{2} du = r , dr $. Alteramos os limites:
- Quando $ r = 0 $, $ u = 4 $
- Quando $ r = 2 $, $ u = 0 $
A integral fica:
Integrando $ \sqrt{u} $:
Passo 6
Agora, voltamos à integral em $ \theta $:
Resposta
Portanto, a integral dupla $ \int_{D} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} , dA $ é igual a $ \frac{16\pi}{3} $.