Se
for contínua em
, então,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é contínua no intervalo
. A questão diz que o integral duplo de $ f(x)f(y) $ sobre
é igual ao quadrado do integral de $ f(x) $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente propriedades de integrais múltiplas e a ideia de multiplicar integrais independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos dois integrais independentes, o integral duplo pode ser separado em dois integrais simples. Isso significa que:
Aqui, estamos tratando $ x $ e $ y $ como variáveis independentes, então podemos separar os integrais.
Passo 3
Observamos que $ y $ é apenas uma variável de integração e não depende de $ x $. Portanto, o integral de $ f(y) $ de 0 a 1 é o mesmo que o integral de $ f(x) $ de 0 a 1, já que a função $ f $ é a mesma em ambos os casos. Ou seja:
Passo 4
Substituindo isso na expressão original, temos:
Resposta
Portanto, concluímos que: