Se f for contínua em [0,1], então,
integral0^1 integral0^1 f(x) f(y) d x d y=[integral0^1 f(x) d x]^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é contínua no intervalo f . A questão diz que o integral duplo de $ f(x)f(y) $ sobre [0,1] é igual ao quadrado do integral de $ f(x) $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente propriedades de integrais múltiplas e a ideia de multiplicar integrais independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos dois integrais independentes, o integral duplo pode ser separado em dois integrais simples. Isso significa que:
integral0^1 integral0^1 f(x) f(y) , dx , dy = ( integral0^1 f(x) , dx ) ( integral0^1 f(y) , dy )
Aqui, estamos tratando $ x $ e $ y $ como variáveis independentes, então podemos separar os integrais.

Passo 3

Observamos que $ y $ é apenas uma variável de integração e não depende de $ x $. Portanto, o integral de $ f(y) $ de 0 a 1 é o mesmo que o integral de $ f(x) $ de 0 a 1, já que a função $ f $ é a mesma em ambos os casos. Ou seja:
y

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, temos:
( integral0^1 f(x) , dx ) ( integral0^1 f(y) , dy ) = ( integral0^1 f(x) , dx ) ( integral0^1 f(x) , dx ) = ( integral0^1 f(x) , dx )^2

Resposta

Portanto, concluímos que:
integral0^1 integral0^1 f(x) f(y) , dx , dy = ( integral0^1 f(x) , dx )^2

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