A integral
representa o volume limitado pelo cone
e pelo plano
.
representa o volume limitado pelo cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
que representa o volume limitado pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $. Vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar, pois a simetria do problema se encaixa bem nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos um ponto no espaço por
, onde:
- $ r $ é a distância do ponto à origem no plano $ xy $,
- $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
- $ z $ é a altura acima do plano $ xy $.
O cone dado pela equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas cilíndricas fica $ z = r $, já que $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $.
Passo 3
A integral tripla que temos é:
Aqui, os limites de integração são:
- $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $ (uma volta completa),
- $ r $ vai de $ 0 $ a $ 2 $,
- $ z $ vai de $ 0 $ a $ r $.
Isso significa que estamos calculando o volume dentro do cone $ z = r $ de $ r = 0 $ até $ r = 2 $.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a $ r $:
Agora, a integral simplifica para:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume limitado pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $ é $ 4\pi $ unidades cúbicas.