A integral
integral0^2 pi integral0^2 integral0^r d z d r d theta
representa o volume limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
integral0^2 pi integral0^2 integral0^r dz , dr , dtheta
que representa o volume limitado pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $. Vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar, pois a simetria do problema se encaixa bem nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos um ponto no espaço por (r, theta, z), onde:
  • $ r $ é a distância do ponto à origem no plano $ xy $,
  • $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $,
  • $ z $ é a altura acima do plano $ xy $.
O cone dado pela equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas cilíndricas fica $ z = r $, já que $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $.

Passo 3

A integral tripla que temos é:
integral0^2 pi integral0^2 integral0^r dz , dr , dtheta
Aqui, os limites de integração são:
  • $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $ (uma volta completa),
  • $ r $ vai de $ 0 $ a $ 2 $,
  • $ z $ vai de $ 0 $ a $ r $.
Isso significa que estamos calculando o volume dentro do cone $ z = r $ de $ r = 0 $ até $ r = 2 $.

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Agora, a integral fica:
integral0^r dz = z |0^r = r - 0 = r

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a $ r $:
r
Agora, a integral simplifica para:
integral0^2 r , dr = 12 r^2 |0^2 = 12 (4) - 0 = 2

Passo 6

Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume limitado pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e pelo plano $ z = 2 $ é $ 4\pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados